ナンバーズの確率 - ナンバーズ3

「ナンバーズ3」のおさらいとして、申込カード裏面やパンフレットなどに記載されている、当選確率および当選金額の理論値（公表値）を下表に示します。「ナンバーズ3」のルールとして、ボックス及びセットについては「111」など3つとも同じ数字の申し込みはできません。また、当選確率と当選金額の理論値は、確率計算上の数値で、全パターンに均等に申し込みがあったと仮定して算出されています。

3桁の数字を申し込む「ナンバーズ3」ではご存じの通り、申込数字の組合せが000〜999までの1,000通りあります。「ストレート」に当選する確率はどの数字を選んでも一律 1/1,000ですが、申込タイプを「ボックス」および「セット」にした場合には抽選番号によって当選確率が変わるため、当選金額も変わります。

以下に、「ボックス」、「セット」、「ミニ」の当選確率を算出しました。

ナンバーズ3 「ボックス」の当選確率

ナンバーズ3の「ボックス」に当選する条件は、抽選された3桁の各数字が一致すれば並びの順序は問いません。並びの順序を考慮しないので抽選番号が「123」なら、「123」、「132」、「213」、「231」、「312」、「321」の6つのいずれかを購入時に選択してれば「ボックス」に当選します。

6つの中で1つ、「123」は抽選番号に対して並びの順序も一致していますが、申込タイプを「ボックス」にしていますので残念ながら「ストレート」に当選とはなりません。

3桁の数字を並べる順番は、6通り（3×2×1）ありますので、単純に考えれば「ボックス」は「ストレート」と比べて6倍当たりやすくなります。しかし、以下のケースを考慮しますので、実際には6倍とはなりません。
当選金の算出の項目で詳しく説明しています。

では、抽選番号が「112」と3桁の各数字の内、2つが同じ数字の場合も上記と同じでしょうか？

「112」を並び変えてみると、「112」、「121」、「112」、「121」、「211」、「211」の6つの組合せの中に重複が存在しますのでそれを取り除きます。すると、「112」、「121」、「211」の3種類だけになりました。

つまり、選択（申込）した3桁の各数字の中に同じ数字が有るか無いかによって当選確率が変わることが分かります。ただし、ナンバーズ3は、「ボックス」及び「セット」については「111」など、3つとも同じ数字の申し込みはできません。 これは3つとも同じ数字なので並びの順番がなくなり、「ストレート」＝「ボックス」、「ストレート」＝「セット」となるからです。

ナンバーズ3の「ボックス」の当選確率をまとめると以下のようになります。

ナンバーズ3 「セット」の当選確率

「セット」は、「ストレート」と「ボックス」に半分ずつ（100円）申し込む方法で、「セット」の中に「ボックス」があるため、こちらも選択（申込）した 3桁の各数字の中に同じ数字が有るか無いかによって当選確率が変わります。同様に「111」など3つとも同じ数字の申し込みはできません。

注意として「セット」の「ストレート」に当選すれば、「セット」の「ボックス」にも重複して当選します。当選金は、「ストレート」と「ボックス」の2つを加算して半分に分けた金額となります。

「セット」の「ボックス」のみ当選する場合ですと、抽選番号に対して並びの順序も一致した「セット」の「ストレート」となる当選本数（1本）を除かなければなりません。最終的な「セット」全体の当選確率は「ボックス」と同じになります。

「セット」の当選確率をまとめると以下のようになります。

ナンバーズ3 「ミニ」の当選確率

「ミニ」とは、「ナンバーズ3」のみ存在する申込タイプで、下2桁の数字と並びの順序が一致すれば当選となります。並びの順序が一致しなければなりませんので、「ボックス」や「セット」のように数字の入れ替えができません。数字は00〜99までの100種類に限られます。

当選確率の算出は容易で、抽選された3桁の数字の下2桁の数字と並びの順序が一致すれば当選となり、上1桁の数字は何でも構いません。選択（申込）した3桁の数字の百の位（上1桁）は問いませんので、000〜999までの1,000通りの内、10本が当選となります。

「ミニ」の当選確率は、10/1,000 ＝ 1/100 となります。

理論上の当選金額の算出の前に3桁の数字構成について理解しておく必要があります。

数字構成とは先ほど「ボックス」および「セット」の当選確率にありましたように、000〜999までの1,000種類の数字の中には、以下のものがありました。

• �@ 3桁の数字が全て同じ数字で構成されたもの
• �A 同じ数字が2つあるもの
• �B 同じ数字が一つもなくバラバラで構成されたもの

この3つの構成が1,000種類の数字に対してどのくらいの割合で含まれるのかを調べたいと思います。

�@ ３桁の数字が全て同じ数字で構成されたもの

「000」や「111」など、3つとも同じ数字は、000〜999の中に10通りしかなく、3桁の3つの数字のいずれかを「●」の記号で置き換えますと、残った2つも同じ数なので、3つとも同じ数字の構成は「●●●」で表せます。「●」の中には0〜9まで10種類の数が入ります。

並べる順番は6通り（3×2×1＝6）ありますが、並び替えても5つが重複しますので「●●●」の１パターンのみとなります。　C[3,3]＝1

3桁の数字が全て同じ数字の組合せ総数は、1×10＝10 となります。

�A ３桁の数字の中に同じ数字が2つある構成

「112」、「121」、「211」など、3桁の数字の中に同じ数のペアが存在し、残り1つはペアの数字以外となる構成です。「112」でしたら「●●−」、「121」なら「●−●」と置き換えます。「−」の中には「●」で使われた数字以外が入ります。

並べる順番は6通りあります。
「●●−」　「●−●」　「●●−」　「●−●」　「−●●」　「−●●」

ここで重複している構成を除きますので、
「●●−」　「●−●」　「−●●」の3パターンとなります。　C[3,2]＝3

「●」には0〜9までの数が入り、「−」には3桁の数字が全て同じにならないように「●」以外の数が入ることになりますので、�Aの数字構成、1パターンに対して、10×（10−1）＝90通りの3桁の数字の組合せがあります。これが3パターンありますので、3桁の数字の中に同じ数字が2つある数の組合せ総数は、全1,000通りの中に270個あることが分かります。　（3×90）

�B ３桁の数字の中に同じ数字がない構成

これは各桁の数字にペア以上の数字構成がない組合せとなりますので、3桁の数字の全組合せ数（1,000通り）から�@と�Aの構成数を引けば求まります。　（1,000−10−270＝720）

別解として、「ｎ個の異なるものの集まりから、ｒ個のものを取り出して1列に並べたもの」をｎ個のものからｒ個を取る 順列（ｎＰｒ） といい、これを利用すれば簡単に算出することができます。

0〜9までの10個の数字の内から異なる3個の数字を選び出し、3桁の整数を作る組合せの総数をを求めますので、以下のようになります。

3桁の数字構成を下記のように視覚的に求める方法もありますので、参考にしてください。

3桁（000〜999）の各数字の中に同じ数字が有るか無いかによって3つの構成に分類されます。前項では、各構成の3桁の3つの数字に対して、同じ数字が2個以上あれば「●」を、無い場合には「−」という記号で数字を置き換えて組合せ数を算出しました。そして、これらの置き換えた記号には並べる順番により、全構成に対して4種類のパターンがありました。

ナンバーズ3 全数字構成に対して4種類のパターンで細分化される「要素」について

ここで、各パターンにAからDまでのアルファベットを付け、「要素」としてぞれぞれを色分けました。

�@ 3桁の数字が全て同じ数字で構成されたもの
＝ A要素

�A 3桁の数字の中に同じ数字が2つある構成
＝ B、C、D要素

�B 3桁の数字の中に同じ数字がない構成
＝ A〜D要素以外 ＝ 1,000−（A＋B＋C＋D）

ナンバーズ3 全要素（A〜D要素とそれ以外）における分布図と振分数

これが3桁の数字全てに対してどのように分布されているのかを下表に示します。
※ 3桁の数字の中に同じ数字がない構成（構成�B、A〜D要素以外）は白色です。

3桁の1,000種類の数字を全要素で振り分けた結果、以下のように個数をまとめることができます。

• �@ 3桁の数字が全て同じ数字で構成されたもの（A要素） ＝ 10
• �A 3桁の数字の中に同じ数字が2つある構成（B〜D要素） ＝ 270
• �B 3桁の数字の中に同じ数字がない構成（A〜D要素以外） ＝ 720

ナンバーズ3 A〜D要素の関係図と考察

前項の分布図より、A〜Dの各要素がどのように他の要素と絡み合っているかを下図に示しました。

この図からもお分かりの通り、A要素はB〜D要素の計3要素が絡む仕組みとなります。また、B、C、D要素は昇格してA要素となるものが各10通りありますので、振分数はそれを除いた組合せとなります。「ナンバーズ4」になれば含まれる要素の数がもっと複雑になりますので、当ページを完全に理解しておいてください。

これらの要素の関係を円を使った平面図で表すと以下のようになります。

「ナンバーズ」や「ロト６」などの数字選択式宝くじは、現行の宝くじと同じく、「当せん金付証票法」に基づいて発売される宝くじなので、還元率（ペイアウト率）が 50％を超えないように配当を決めなければなりません。「ナンバーズ」の場合、還元率は45％に設定されています。

以下、「当せん金付証票法」の中から還元率の規定について書かれた部分を抜粋しました。

当せん金付証票法　第五条第一項　（当せん金付証票の当せん金品の限度）

当せん金付証票の当せん金品の金額又は価格の総額は、その発売総額の五割に相当する額（加算型当せん金付証票にあつては、その額に加算金（第二条第二項の加算金をいう。）の額を加えた額）をこえてはならない。

当せん金付証票法　第二条第二項　（当せん金付証票の意義）

この法律において「加算型当せん金付証票」とは、当せん金付証票のうち、購入に当たつて、くじ引の対象となる数字の中から一定数の数字を選択し、当該選択した数字とくじ引により選択された数字との合致の割合に応じて当せん金品を支払い、又は交付するものであつて、次の各号に掲げる場合における当該各号に定める額の合計額を次回の同種の当せん金付証票を発売する場合においてその当せん金品の金額又は価格の総額に加算金として算入するものをいう。 ⇒「ロト６」のキャリーオーバーのことです。

理論値を算出しますので、毎回全パターンに申し込みをして抽選番号が均等であったと仮定します。抽選番号が均等とは、「000」から「999」までの 1,000通りの当選番号が偏りなく出現する状態です。「000」から「999」までの当選番号が各1回出現したと仮定しますので、申込継続回数は 1,000回となります。

ナンバーズ3 「ストレート」における理論上の当選金額と当選確率の算出

毎回、「000」から「999」までの数字を申し込み、これを1,000通りの当選番号について行いますので、全購入枚数は100万枚（1,000×1,000）となります。

最終的にどの数字構成に対しても当選金額は90,000円となりました。

ナンバーズ3 「ボックス」における理論上の当選金額と当選確率の算出

「ボックス」では、3つとも同じ数字の申し込みができませんので、毎回それを除いた（構成�@を除いた）990個の数字を申し込み、これを全当選番号に適用します。全購入枚数は99万枚となります。当選本数は「ストレート」の1,000本に対して5,130本となります。抽選番号に3つとも同じ数字が出た場合、その回に購入した990枚のくじ券が丸損となってしまいますが、「ナンバーズ3」の申し込みルールなので仕方ありません。

「ボックス」は「ストレート」と比べて6倍ではなく、5.13倍当たりやすくなります。これは990種類の数字の中で270個を占める、同じ数字が2つある申し込みによる重複分が相殺されるためです。

ナンバーズ3 「セット」における理論上の当選金額と当選確率の算出

「セット」も「ボックス」と同じく、3つとも同じ数字の申し込みができませんので、全購入枚数は99万枚となります。「セット」の「ストレート」に当選したものは「セット」の「ボックス」にも重複して当選しますので、当選金は2つの金額を加算します。当選本数は「ボックス」と同じく、5,130本となり、そのうちの990本が「セット」の「ストレート」に当選となります。

ナンバーズ3 「ミニ」における理論上の当選金額と当選確率の算出

あえて書く必要はありませんが、「ミニ」は抽選番号の下2ケタの数字と並びの順序が一致すれば当選となることから、「ストレート」の当選確率を10倍にアップさせたものです。どの数字構成に対しても当選金額は「ストレート」の10分の1、9,000円となります。

「ナンバーズ3」の申込タイプ別による当選確率と当選金額の算出結果のまとめを下表に示します。

上記、申込タイプ別・算出結果一覧表の補足と備考については、以下を参照してください。

ナンバーズ3 「ボックス」の平均当選確率と平均当選金額について

「ボックス」全体の当選確率は、99万枚購入に対して5,130本当選しますので、5,130/990,000で求めます。平均当選金額も同様に還元額 8,910万円の中から当選分 5,130本を分配しますので、89,100,000/5,130 ＝ 17,368円となります。

ナンバーズ3 「セット」の解釈の違いについて

「セット」には解釈の方法が2種類あり、「セット/ボックス」欄に「セット/ストレート」の当選分を含めて表記するかしないかがありますが、パンフレットなどにある公表値には後者の方法で記述されていますので、当サイトもそちらでまとめたいと思います。

それにより、「セット/ボックス」の当選確率から「セット/ストレート」となる当選確率を除きます。ですので、上記の表は完全に「セット/ストレートのみ」、「セット/ボックスのみ」のケースでの算出となります。

ナンバーズ3 「セット/ストレート」の当選確率について

「セット/ストレート」のみの当選確率は、3つとも同じ数字の番号が申し込みできないため、「000」から「999」までの1,000通りの当選番号（抽選番号）の内、10通りある同じ数字の組合せを除いた 990通りが有効となるため、1,000分の1より小さくなるのではと思ってしまいがちです。

抽選結果で見た場合（時間で考えた場合）または、外部（購入者）から見た場合には、抽選番号が3つとも同じ数字のときは全てハズレの抽選回となり、「ボックス」および「セット」の当選者は現れません。しかし、内部（胴元）から見た場合、つまり、考えられる全ての購入パターンから考えると、99万枚売りさばいて990本の「セット/ストレート」が当選する ＝ 1/1,000となりますね。

ナンバーズ3 「セット/ストレート」の当選金額について

「セット/ストレート」のみの当選金額は、申込数字構成�Aと�Bで変わります。前項の表で「セット」の「ストレート」の当選金は�A�B共に45,000円となりますが、「セット」の「ストレート」に当選したものは「セット」の「ボックス」にも重複して当選しますので、当選金は2つの金額を加算します。

これにより、申込数字構成別の「セット/ストレート」のみの当選金額は以下のようになります。

• �A 45,000円 ＋ 15,000円 ＝ 60,000円
• �B 45,000円 ＋ 7,500円 ＝ 52,500円

ナンバーズ3 「セット/ストレート」の平均当選金額について

「セット/ストレート」のみの平均当選金額は還元額の計算が少し面倒になります。

その理由は、「セット」の「ストレート」部分の還元額は、前項に示した「セット」の当選金額算出表の還元額 4,455万円と、「セット」の「ボックス」部分の還元額の一部をプールしたものを加えるからです。

数字構成�Aからは1,215万円の3分の1で405万円、数字構成�Bからは3,240万円の6分の1で540万円の合わせて945万円が「セット」の「ストレート」に上乗せされます。

よって、「セット/ストレート」の還元額は5,400万円となり、その中から当選分 990本を分配しますので、54,000,000/990 ＝ 54,545円となります。

ナンバーズ3 「セット/ボックス」の平均当選確率について

「セット/ボックス」のみの平均当選確率は、99万枚購入に対して5,130本から「セット/ストレート」に昇格した990本分を除いた 4,140本が該当しますので、4,140/990,000 ＝ 239分の1となります。

ナンバーズ3 「セット/ボックス」の平均当選金額について

「セット/ボックス」のみの平均当選金額は、上記と同じく「セット」の「ボックス」部分の還元額 4,455万円から「セット」の「ストレート」部分で使用した945万円を除きますので3,510万円となり、当選本数は5,130本から990本を引いた4,140本を分配します。35,100,000/4,140 ＝ 8,478円となります。

ナンバーズ3の当選確率および当選金額は、選択した番号や抽選番号での偏り、発売総額、当選本数によって回ごとに変動します。

中には、理論値から大きくかけ離れて意外な当選金となってしまう回も多くあり、完全確率抽選ならではの面白さが魅力的です。

ナンバーズ3 過去の最高当選金額などについて

1994年10月にナンバーズが誕生し、現在までに2800回以上の抽選が行なわれてきたナンバーズ3ですが、確率の偏りによって当選金額にどのくらいの幅があるのかを調べてみました。

まず、ナンバーズ3の当選金額上位3位は以下のようになりました。

【 ナンバーズ3　高額当選金ベスト3 】

ストレート		ボックス
333,500円	第2回 （平成6年10月14日）	111,100円	第2回 （平成6年10月14日）
250,100円	第21回 （平成7年1月31日）	83,300円	第21回 （平成7年1月31日）
215,000円	第115回 （平成7年12月26日）	71,600円	第115回 （平成7年12月26日）

平成6年10月14日に行なわれた第2回のナンバーズ3の抽選では、ストレートで33万3500円という高配当を生み出しており、理論上の当選金額である9万円を大きく上回っていることが確認できます。

次に、期待値を大きく下回ったナンバーズ3のワースト金額を以下に示します。

【 ナンバーズ3　当選金額ワースト3 】

ストレート		ボックス
25,400円	第1786回 （平成18年3月23日）	6,400円	第809回 （平成13年1月26日）
38,600円	第809回 （平成13年1月26日）	6,800円	第2144回 （平成19年8月10日）
38,800円	第476回 （平成10年11月30日）	7,100円	第298回 （平成9年10月6日）

発売総額は過去のデータを見る限り変化は見られませんでしたが、当選本数が多ければ多いほど、このようにストレートやボックスの当選額の期待値が大きく下がってしまうことが分かります。

キャリーオーバー制により桁違いの高額賞金が魅力

ナンバーズ、ミニロトに次いで発売が始まった数字選択式宝くじである「ロト6／ロトシックス」や、Ｊリーグの勝敗を対象としたスポーツ振興くじ（サッカーくじ）として登場した「toto BIG」では、当選金の繰り越しが行われる「キャリーオーバー制」を採用しており、理論上の当選金額を超えて4億円や6億円といった高額当選が期待できます。

しかし、いくら理論上の当選金額を上回っても、法定当選金の限度額を超えた場合、次回抽選分の1等当選金にキャリーオーバーされるという仕組みとなっていますので、「ロト6」の最高当選金額は4億円、「toto BIG」では6億円までと、当選金額に上限額が設けられています。

一方、世界各国の宝くじにはトンデモないものも・・・

アメリカやイギリスの高額ロトくじが度々ニュースになることがあり、ご存知の方も多いとは思いますが、世界に目を向けると賞金額が数十億円、時には数百億円といったスケールの違いに驚かされてしまいます。

世界くじ史上の最高当選金額といえば、アメリカでナンバーワンの人気と知名度を誇る「メガミリオンズ／MegaMillions」というロトくじです。

また、「メガミリオン」に次いで人気の「パワーボール／PowerBall」や、イギリスを始め欧州9ヶ国で販売されている「ユーロミリオンズ／EuroMillions」の各ロトくじも上限金額のないキャリーオーバーによって爆発的な当選金を生み出し、世界各国で多くの人々を魅了し続けています。

しかし、圧倒的な当選金額を誇るこれらの数字選択くじの当選確率を調べたところ、約2億分の1と、日本で発売されている「ロト6」の約610万分の1や、「toto BIG」の478万分の1とは比べ物にならないほどの驚愕な数値でした。当選金額がゴージャスな分、このような確率となってしまうのは当然ともいえますね。

最近はオンラインで宝くじを購入する方が増えてきている

インターネットの普及と共に誰でもパソコンを持つ時代になり、本格的なネットワーク社会となりました。パソコンとネットワーク環境があれば、世界各国の人達とリアルタイムにコミュニケーションをとることができます。

また、いつでもどこでも時間を選ばず、知りたい情報を探したり、ニュースを読んだり、動画・画像・音楽・ゲームなどの様々なコンテンツを楽しんだりと、パソコンは、身近な存在のコンピューターとして、今や日常生活の中になくてはならないものとなりました。

オンラインショッピングやネット銀行が定着した今では、わざわざお店に出向かなくても欲しい商品を検索して購入することができ、お金のやりとりも簡単に行なえるようになりました。
最近では、宝くじもネット上で購入が可能となり、近い将来、ロト6、ミニロト、ナンバーズといった数字選択式宝くじに関してもオンラインで気軽に参加できる日が来るかもしれません。

ケタ違いのスリルと興奮がオンライン上でいつでも味わえる

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所詮は確率、されど確率。　だから、スリリングで面白い！

ナンバーズやカジノゲームなどのギャンブルに始まり、自然現象、社会現象、果ては無限の空間を持つ宇宙と、世の中はすべて因果の「確率」によって動いていると言われています。

身近な‘確率ゲーム’として遊べる様々なギャンブルゲームは、確率によって生じる偏り・波・流れなどを推測して楽しんだり、その理論値を大きく越えた時の一撃を体感することができるのが魅力的ですね。

以上で「ナンバーズ3」についての理論値計算は終了させていただきます。
次回は「ナンバーズ4」について算出します。

ナンバーズの確率計算一覧表

〔ナンバーズの確率〕 ナンバーズ3 〔ナンバーズの確率〕 ナンバーズ4 〔ナンバーズの確率〕 ナンバーズ4 各要素の立体図