ポーカーの確率 - カードの組合せ総数

まず最初に、ポーカーで役の出現確率を算出するためには、最初に配られる5枚の手札（ハンド）の全組合せ数を求めなければなりません。

ポーカーの人気ゲーム、ジャックス・オア・ベター（Jacks or Better）で使用されるジョーカー（ワイルドカード）なしの52カード1デック（1 deck 52 cards w/o Joker）の場合では、52枚のトランプの中から5枚を取りますので、以下のようになります。

いきなり凄い数になりました。3億1187万5200通り・・・。

52種類のカードから1枚目を選び、残った51種類から2枚目…と、樹形図で表せれば末端は膨大な枝数となるため書けません。しかし、上記の計算式では手元に配られる5種類のカードの並び順（位置）が異なる場合も含まれるため、その分を差し引きしなければなりません。

例えて言えば、最初に配られた5種類のトランプカードに�@〜�Dまでの番号を付けます。手元のカードは、左から順に�@�A�B�C�Dとなります。

ではこの先、�D�C�B�A�@や�@�A�B�D�C、または�B�D�@�C�Aなどのカードが配られた場合はどうでしょうか？
配られる位置は違いますが、カードの種類は同じですね。

並べる順番の違いを区別せずに52枚のトランプの中から5枚を取る全組合せ数を求めるためには、5枚のカードを並べる順番が何通りあるのかを調べる必要があります。以下の表にそれをまとめました。

5枚のカードを並べる順番は全部で120通り（5×4×3×2×1）あることが分かりました。

つまり52枚のカードの中から任意に選んだ �@、�A、�B、�C、�Dの5種類のカードには、最初に求めた3億1187万5200通りの中に120パターン重複しています。

よって、52枚の中から5枚を取る全組合せ数は、
3億1187万5200から120を除じた数 ＝ 259万8960通りとなります。

数学の世界では、「異なる n 個のものから異なる m 個のものを、並べる順番の違いを区別せずに並べたもの＝重複（ちょうふく）を持たない組合せ」の総数は、「Combination / コンビネーション」と呼ばれ、その頭文字から、 nCm または C(n, m) のような記号を使って表します。

ポーカーの役確率計算ではこの記号を頻繁に使用しますので、上の定義を覚えておいてください。

ジャックス・オア・ベターで最初に配られる手札の全組合せ数は、259万8960通りとなります。

管理人がよくプレイしているマイクロゲーミングのパワーポーカー、「Deuces and Joker」で、最初に配られる手札の全組合せ数を求めてみましょう。こちらのポーカーゲームはジョーカーを1枚含めた1組53枚のトランプ（1 deck 53 cards w/1 Joker）を使用します。

同様に、「Double Joker」のようにジョーカーを2枚使用するポーカーの場合（1 deck 54 cards w/2 Jokers）も以下のようにして求めることができますね。

これで各ポーカーゲームにおいて、最初に配られる手札の組合せ総数を知ることができました。

次回はポーカーの各役の出現確率の算出方法を掲載します。