〔ポーカーの確率〕 カードの組合せ総数と、各役の出現率

ポーカーは遊ぶゲームの種類によって「ファイブカード」などの特殊な役が追加されたり、役の強さが変わる場合もありますが、一般的なルールでは強い(出現確率が低い)順に最高役の「ロイヤルストレートフラッシュ」から「ワンペア」まで全部で9つの役があります。

各役の出現確率を算出するためには、まず分母としてランダムにシャッフルされたトランプから選ばれた手札5枚の組み合わせ(場合の数)が全部で何通りあるのかを調べなければなりません。

また、ポーカーで使うトランプは、ゲームによって1組52枚のカードからジョーカーを含めた1組53〜54枚のカードを使うものまで様々あり、それぞれについて組合せを求めなければなりません。

 52〜54枚のトランプから5枚のカードを選ぶ組合せ
 配られた5枚の手札の組合せで役が完成する確率

52〜54枚のトランプから配られる5枚の手札の組合せは何通り?

ポーカーの人気ゲームの一つ、「ジャックス・オア・ベター」 で使用されるジョーカーやワイルドカードを含めない1組52枚のトランプでは、52枚のカードの中から5枚を取りますので単純計算すると以下のようになります。

52×51×50×49×48 = 311,875,200

いきなり凄い数になりました。 3億1187万5200通り・・・。

13種類の数字と4つのマークからなる全52種類のカードから1枚目を選び、残った51種類から2枚目…と、樹形図で表すと末端は膨大な枝数となるため書けません。 しかし、上の計算式では手元に配られる5種類のカードの並び順(位置)が異なる場合も含まれるため、その分を差し引かなければなりません。

例えて言えば、配られた5種類のカードに@〜Dまでの番号を付けます。
手元のカードは、左から順に@ABCDとなります。

ではこの先、DCBA@や@ABDC、またはBD@CAなどのカードが配られた場合はどうでしょうか?
配られる位置は違いますが、カードの種類は同じですね。

並べる順番の違いを区別せずに52枚のカードの中から5枚を取る全組合せ数を求めるためには、5枚のカードを並べる順番が何通りあるのかを調べる必要があります。 以下の表にそれをまとめました。

5枚のカードを並べる順番は全部で5×4×3×2×1=120通りあることが分かりました。

つまり52枚のカードの中から任意に選んだ @、A、B、C、Dの5種類のカードには、最初に求めた3億1187万5200通りの中に120パターン重複しています。

よって、52枚の中から5枚を取る全組合せ数は、
3億1187万5200から120を除じた数 = 259万8960通りとなります。

高校数学では、『異なるn個のものから異なるm個のものを並べる順番の違いを区別せずに並べたもの=重複(ちょうふく)を持たない組合せ』の総数を「コンビネーション(Combination)」と呼ばれる組合せの公式を使って求めます。 その頭文字から、nCm または C(n,m) のような記号を使って表します。

52枚のカードの中から5枚を取る組合せ

1組52枚のトランプから配られる5枚の手札の全組合せ数をコンビネーションで表すと以下のようになります。

ジョーカーを含む53枚のカードの中から5枚を取る組合せ

私がよくプレイしている、ジョーカーを1枚含めた1組53枚のトランプを使用した 「デュース&ジョーカー」 というポーカーゲームの手札の全組合せ数は、C(53,5)=286万9685通りになります。

C[53,5] = 2,869,685

ジョーカー2枚を含む54枚のカードの中から5枚を取る組合せ

同様に、ジョーカーを2枚使用するゲームの場合も数字を変えるだけで簡単に求めることができます。

C[54,5] = 3,162,510

これで各ゲームにおいて、最初に配られる5枚の手札の組合せ総数を求めることができました。

ロイヤルストレートフラッシュの確率

ポーカーの醍醐味は最高役のロイヤル・ストレート・フラッシュ(= ロイヤル・フラッシュ)を当てた時です。
いったい、どのくらいの確率で引けるものなのでしょうか?

まずは無料でビデオポーカーを遊んでみよう!

ビデオポーカーの遊び方の一連の流れとして、最初に5枚のカードが配られます。 そしてより高い役を作るために任意のカードを手元に残し、いらないカードを交換します。

新しくできた5枚の組合せ(交換して新しく配られたカードと、先ほど手元に残したカード)で役が成立していれば、賭け額に応じた払い戻しが行われます。 ポーカーゲームの定番「ジャックス・オア・ベター」の場合、ロイヤルストレートフラッシュが完成すると配当が賭け額の800倍にも跳ね上がります。

ビデオポーカーの定番ゲーム! 「ジャックス・オア・ベター」

ゲームセンターで御馴染みのポーカー。
安定度を求めたい堅実なプレイヤーにおすすめ。

ジャックス・オア・ベター

Jacks or Better

ロイヤルストレートフラッシュは、同じマークの10、J、Q、K、Aの組合せです。
マークは、スペード、ハート、ダイヤ、クラブの4通りあります。

52枚の中から5枚を取る組合せは259万8960通りですので、ロイヤルストレートフラッシュの出現確率は4÷259万8960=64万9740分の1になります。

「ジャックス・オア・ベター」や「デュースワイルド」など、1組52枚のカードを使うポーカーゲームでいきなりロイヤルストレートフラッシュを当てる確率は約65万分の1となります。

毎日1000ゲーム遊んでも単純計算で2年もかかってしまう出にくい役だったのですね。 しかし、上記の確率は最初に配られた5枚のカードで成立する場合で、カード交換後に発展して完成した確率ではありません。

カード交換も含めロイヤルストレートフラッシュになる確率は、ホールド(手元に残すカード)手順によって大きく前後しますが、2〜4万分の1になります。 これについては私が手計算で出したものではなく、数十兆通りの最終手を統計・分析することができるポーカーのシミュレーターによって解析した結果となります。

ストレートフラッシュの確率

ストレートフラッシュは、同じマークの数字が順に続いている組合せです。
(ロイヤルストレートフラッシュになる場合を除き、ストレートで、かつフラッシュ)

連続した数字は各マークで、A-2-3-4-5 から 9-10-J-Q-K まであります。
ただし、連番のルールにより J-Q-K-A-2 のようにAから2へとは続きません。

連続した数字の組合せが9つとマークが4種類ありますので、合計36通りあります。

よって、ストレートフラッシュの出現確率は、36÷259万8960≒7万2193分の1になります。

36÷2,598,960 = 72,193.3

難易度の高い上位役から順に確率を求める

ポーカーの役はノーペアを含め10種類ありますが、各役の成立確率を求めるコツとして高い役から順に算出するようにしてください。 これは、フラッシュやストレートなどの一部が上位役となるポーカーの役の定義上、既に求めた上位役の組合せを含めないようにするためです。

フォーカードの確率

フォーカードは、同じ数字のカードが4枚揃った組合せです。

数字は、A、2、3、・・・、J、Q、Kまでの13種類あります。 

上図紫色の残り1枚のカードは使われた4枚のカード以外なら何でも構いません。 そのため、52枚のカードから4枚を除いた48パターンが1つの数字のフォーカードに対して存在することになります。

これより、フォーカードの組合せは全部で13種類の数字×48パターン=624通りあります。

よって、フォーカードの出現確率は、624÷259万8960=4165分の1になります。

スリーカードが出た時、「あと1枚同じ数字だったら…」と悔しい思いを何度かしましたが、最初に配られた5枚のカードでフォーカードが成立する確率は約4千分の1と思ってた以上に当たりにくい役だったんですね。

ポーカーはできるだけ強い役(ハンド)を作って相手(コンピューター)と競うゲームですが、このフォーカードを境に各役の出現確率が大きく開きます。 ビデオポーカーや対戦型のポーカーで使用されるテキサスホールデムなど各ギャンブルの舞台では、この役を含んだ上位役を完成させることで勝負が大変有利になります。

フォーカードの配当が強力になったビデオポーカー!

A(エース)のフォーカードが完成すれば、400倍の払い出し!
やりだしたら止まらない中毒性を秘めているポーカー。

エース&フェース

Aces & Faces

もちろんポーカーは最高役を完成させて何ぼの世界ですが、長期戦になると、このフォーカードが確率通りに引けるか引けないかによって勝負の展開(収支)が大きく変わってしまうほど重要な役だと言えます。

フルハウスの確率

フルハウスは、スリーカードとワンペアの組合せです。
組合せを求めるにはまず最初にスリーカードが何通り出来るのかを調べる必要があります。

スリーカードは同じ数字のカードが3枚揃った組合せで、A、2、3、・・・、J、Q、Kまで13種類あります。

カードのマークは何でも構いませんので、スペード・ハート・ダイヤ・クラブの4種類のマークから3つを選ぶ組合せは、コンビネーションの式を用いてC(4,3)=4より、全部で4通りあります。

よって、フルハウスのスリーカードの部分は全部で13×4=52パターン存在します。

次にワンペアの部分(上図紫色のカード)が何通り出来るかを考えてみましょう。

同じ数字がペアになっている組合せなのでAからKまで13種類と言いたいところですが、その場合だとフォーカードに昇格するカードも含まれてしまいます。 スリーカード以外の数字がワンペアになる組合せを考えなければなりませんので、13種類の数字のペアから1つを除き、12種類となります。

カードのマークは問わないため、4種類のマークから2つを選ぶ組合せは、C(4,2)=6通りあります。

よって、フルハウスのワンペアの部分は1つのスリーカードにつき12×6=72パターン存在します

〔詳細〕 フルハウスのワンペア部分は各スリーカードで72通りある

フルハウスのスリーカード部分のパターンの1つである、Aのスペード・ハート・ダイヤを例に考えます。 残りの2枚のカード(紫柄のトランプ)がワンペアになる数字は、2、3、4、・・・、J、Q、Kまで12種類あります。 さらに各数字のペアに対して6種類のマークの組合せが存在します。

6種類のマークの組合せは、ワンペアの数字が「2」の場合、以下のようになります。

これより、フルハウスの組合せは全部で52×72=3744通りあります。

よって、フルハウスの出現確率は、3744÷259万8960≒694分の1になります。

フルハウスはこのように2つの部分に分けて組合せを求めるのがポイントとなります。

この辺りから出現確率が大きく変わり、約700分の1と現実的な数字になりました。 この先、役の階級が下がるにつれ、出現確率が高くなりますので、カードの組合せ数も多く複雑になっていきます。

フラッシュの確率

フラッシュは、5枚のカードがすべて同じマークで構成される組合せで、カードの数字は何でも構いません。
ただし、上位役のロイヤルとストレートフラッシュも含まれますので、それを除かなれけばなりません。

まず最初に5枚のカードが全部同じマークになる組合せが何通りあるのかを調べます。

分かりやすく計算するために4種類のマークの内、1種類について考えます。
いま、1組52枚のトランプからスペードのカードを取り出しました。

この13枚のカードの中から5枚を選ぶ組合せはC(13,5)=1287通りあります。

これでスペードのフラッシュの総数を求めることができましたが、この1287通りの中には連続した数字で出来るスペードのロイヤルとストレートフラッシュが含まれていますので、これらを引かないといけません。

スペードのロイヤルストレートフラッシュは、10〜Aの1種類あります。
スペードのストレートフラッシュは、A〜5、2〜6、・・・、8〜Q、9〜Kまで9種類あります。

これらの上位役を引き、1287−(1+9)=1287−10=1277通りになりました。

その他、ハート、ダイヤ、クラブの3種類のマークについても同様に求めることができますので、
フラッシュになる組合せは全部で1277×4=5108通りあります。

よって、フラッシュの出現確率は、5108÷259万8960≒509分の1になります。

ストレートの確率

ストレートは、5枚のカードの数字が連続している組合せで、カードのマークは何でも構いません。

ただし、5枚のカードがすべて同じマークになるとロイヤルやストレートフラッシュに昇格してしまうため、
連続する数字の組合せから5枚が同一マークとなるものを除かなれけばなりません。

連続する数字の組合せは、A-2-3-4-5から10-J-Q-K-Aまで10種類あります。
ただし、Aの取り扱いとして連番のルールにより J-Q-K-A-2 のようにAから2へとは続きません。

まず、一つの連続した数字の組合せにおいて4種類のマークの組合せは全部で何通りあるかを調べます。
例として、Aから始まるA-2-3-4-5の1種類の連続した数字の組合せについて考えます。

4種類の「A」に対して「2」がそれぞれ4種類あり、その「2」に対して「3」が各4種類・・・となることから、一つの連続した数字でマークの選び方は、4の5乗(4×4×4×4×4)=1024通りあります。

次に、この中で5枚のカードがすべて同じマークになる上位役の組合せは、スペード、ハート、ダイヤ、クラブでそれぞれ1通りしかありませんので、それを引きます。 これにより、Aから始まるA-2-3-4-5のストレートは全部で1024−4=1020通りあることが分かりました。

連続する数字の組合せはA-2-3-4-5から10-J-Q-K-Aまで10種類ありますので、ストレートの組合せは全部で1020×10=1万200通りになります。

よって、ストレートの出現確率は、1万200÷259万8960≒255分の1になります。

ポーカーの各ゲームをプレイしていると、フラッシュとストレートの配当差があまりないことから、出現確率も似ていると思われがちですが、ストレートの方が2倍出やすい役だということに気づかされると思います。

ジョーカーを絡ませて、高い役を完成させよう!

52枚のトランプにジョーカーが追加されたポーカー
ジョーカーにより、「ファイブカード」という特殊役が狙える!

ジョーカー・ポーカー

50-Line Joker Poker

スリーカードの確率

スリーカードは、同じ数字のカードが3枚揃った組合せで、カードのマークは何でも構いません。

ただし、残りの2枚のカードの中にスリーカードと同じ数字があればフォーカード、ワンペアになればフルハウスに昇格してしまうため、既算の上位役が重複しないようにそれらを除いて組合せを求めなければなりません。

同じ数字のカードが3枚揃った組合せは、AAA、222、・・・、QQQ、KKKまで13種類あります。
カードのマークは問いませんので、4種類のマークから3つを選ぶ組合せはC(4,3)=4通りあります。

よって、スリーカードの部分は全部で13×4=52パターン存在します。

次に残りの2枚のカード(下図、緑と青のトランプ)について考えます。

緑と青のトランプはスリーカードの部分で3枚使われてますので、52−3=49より、残りの49枚のカードから2枚選ばれます。 しかし、この49枚のカードの中にはスリーカードの部分と同じ数字のカードが1枚含まれていますので、フォーカードにならないように1枚取り除かないといけません。

ですので、緑と青のトランプは48枚のカードから2枚を選ぶ組合せC(48,2)=1128通りあります。

最後にフルハウスの成立を避けるため、緑と青のトランプがワンペアになる組合せを求めます。
こちらは フルハウスの確率 にて計算済みで、1つのスリーカードにつきワンペアは72通りあります。

これより、スリーカードの組合せは52×(1128−72)=52×1056=5万4912通りになります。

よって、スリーカードの出現確率は、5万4912÷259万8960≒47分の1になります。

オンラインカジノのビデオポーカーにはフォーカードの配当を強化した灼熱仕様の台もあり、一度に複数の手札(ハンド)で遊べるマルチハンドポーカーでは出現確率50分の1弱のお手頃なスリーカードからフォーカードに昇格しやすいため、驚きのペイアウト(払い出し)を短期間に何度も味わうことができます。

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ツーペアの確率

ツーペアは、同じ数字のカードのペア(2枚)が2組ある組合せです。

ただし、「A-AとA-A」のように2組のペアの数字が同じになるとフォーカードに昇格してしまいますので、2組のペアの数字は重複してはいけません。 また、残り1枚のカードもフルハウスにならないように2組のペアで使った数字以外のカードでなければならず、これらの上位役を除いて組合せを考える必要があります。

最初に2組のペアの数字(1組目と2組目の数字が同じになる場合を除く)の組合せを求めます。

1組目のペアが「AA」の場合、2組目は「22」〜「KK」まで12通り、「22」の場合、「33」〜「KK」まで11通りありますので、2組の数字の組合せは全部で12+11+10+・・・+3+2+1=78通りあります。

または、13種類の数字の中から2種類を選ぶ組合せC(13,2)=78通りとなります。

次に各組のペアのマークの組合せを考えます。 カードのマークは何でも構いませんので、スペード・ハート・ダイヤ・クラブの4種類のマークから2つを選ぶ組合せはそれぞれC(4,2)=6通りあります。

これより、2組のペアの組合せは全部で78×6×6=2808通りあることが分かりました。

最後にフルハウスの成立を避けるため、残り1枚のカードは52枚から既に使った4枚を引いた48枚から、その中にある2組のペアの数字の残り各2枚を取り除いて52−4−4=44枚あります。

ツーペアの組合せは2808×44=12万3552通りになります。

よって、ツーペアの出現確率は、12万3552÷259万8960≒21分の1になります。

ワンペアの確率

ワンペアは、同じ数字のカードのペア(2枚)が1組ある組合せです。

ただし、残り3枚のカードはフォーカード、スリーカードにならないようペアで使った数字以外でなければなりません。 また、フルハウス、ツーペアも避けるため、その3枚の中に別の数字の並びがあってはなりません。

ペアの数字は、AA、22、33、・・・、JJ、QQ、KKまで13種類あります。 さらに各数字のペアに対して6種類のマークの組合せが存在しますので、ペアの数字の組合せは全部で13×6=78通りあります。

〔例〕 6種類のマークの組合せは、ワンペアの数字が「2」の場合、以下のようになります。

次に残り3枚のカードについて考えます。

上位役のフォーカードとスリーカードへ昇格しないように残り3枚のカードの各数字はペアで使った数字以外が入りますので、13種類の数字から1種類の数字を除きます。

次に、その12種類の数字が残り3枚のカードの中でペア以上にならないよう数字の重複なしに選ばれないといけませんので、組合せはコンビネーションの式を用いてC(12,3)=220通りになります。

さらに、3枚の各数字に対してマークの選び方は、4の3乗(4×4×4)=64通りあります。

上位役を除いた残り3枚のカードの組合せは全部で220×64=1万4080通りあることが分かりました。

これより、ワンペアの組合せは78×1万4080=109万8240通りになります。

よって、ワンペアの出現確率は、109万8240÷259万8960≒2.4分の1になります。

ジャックス・オア・ベターの確率

ワンペアの一部に、J〜Aのペアからなる「ジャックス・オア・ベター」という役も合わせて求めました

この役はゲームセンターや海外のカジノなど、ビデオポーカーのゲーム名でお馴染みですね。
本機はJ(ジャック)以上のワンペアで配当が得られ、役も覚えやすく、マシンペイアウト率(払い出し率)も腕前次第では最大限に引き出せるため、今日も世界中の多くのプレイヤーによって遊ばれています。

J、Q、K、Aの4種類のカードのペア(2枚)が1組ある組合せになりますので、前項のワンペアの式を利用し、(4×6)×(220×64)=24×1万4080=33万7920通りになります。

よって、ジャックス・オア・ベターの出現確率は、33万7920÷259万8960≒7.7分の1になります。

つまり、ワンペアの13分の4(約30%)がジャックス・オア・ベターになります。

オンライン版のカジノでも人気の本機はは、ストラテジー(ポーカーの研究者によって求められた数学的・確率的に有利なカードの残し方、最善手)を実行することで、99.95%以上の高いペイアウト率を長期的に維持することが可能で、ヒキ次第では長く遊べてクレジットも徐々に増えていきます。

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ジャックス・オア・ベター

10-Line Jacks or Better

また、オンラインカジノには10以上のカードのペアで配当が得られる「テンズ・オア・ベター」というビデオポーカーもあります。 役が完成しやすい分、ストレートとフラッシュの配当額が若干下げられていますが、統計的なペイアウト率は変わりませんので、「ジャックス・オア・ベター」と共に人気があります。

10以上のワンペアで上がると配当が付くビデオポーカー!

基本の役さえ分かれば誰でも簡単にプレイできる!
マッタリとゲームを楽しみたい方にオススメ!

テンズ・オア・ベター

10's or Better

ノーペアの確率

ノーペアは「ブタ」とも呼ばれ、何の役も成立していないバラバラの状態であるカードの組合せです。

ノーペアの組合せは、単純に259万8960通りからなるカードの組合せからこれまでに算出したワンペア以上の9つの役の組合せを合わせた総数を引けば求めることができます。

ワンペア以上の役の組合せの合計は以下のようになります。

これより、ノーペアの組合せは259万8960−129万6420=130万2540通りあります。

よって、ノーペアの出現確率は、130万2540÷259万8960≒2分の1になります。

最初に配られる5枚のカードの約半分がブタで、残り半分は何らかの役が成立していることが分かります。

ノーペアは誰もが嫌う最低ハンドですが、ビデオポーカーの中には役の揃いにくさをカバーするため、ワイルドカードやジョーカーといった他のカードに代用できる万能カードを何枚か盛り込んだ機種もあります。

5枚の手札に複数のワイルドが並ぶ様は壮観ですので、ぜひ遊んでみてください。

ワイルドカードが4枚入ってるから役ができやすい!

2のカードがすべてオールマイティー!
初心者からベテランまで楽しめるビデオポーカー!

デュース・ワイルド

4-Line Deuces Wild

オールマイティーカードが5枚入った画期的なポーカー!

ロイヤルストレートフラッシュを超える10,000倍の配当が魅力!
役ができやすいから長くプレイしていても全然飽きない!

デュース&ジョーカー

Deuces and Joker

以上でポーカーの各役の組合せと確率の計算は終わりです。
コンビネーションを使った組合せの式がいくつか出ましたが、慣れましたでしょうか。
ロイヤルに関係する確率のコンテンツも掲載してますので、合わせてお読み頂ければ幸いです。

ポーカー 確率計算一覧
ブタから最高役まで各役が完成する確率はどのくらい?
  • 5枚のカードの組合せ総数と、各役の出現率
残したカードが、ロイヤルフラッシュになる確率は?

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