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カードの組合せ総数

ポーカーで役の出現確率を算出するためには最初に配られる5枚の手札の全組合せ数を求めなければなりません。
ジャックス・オア・ベター(Jacks or Better)で使用されるジョーカー（ワイルドカード）なしの52カード1デック(1 deck 52 cards w/o Joker)の場合では、52枚の中から5枚を取りますので、
52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311,875,200

いきなり凄い数になりました。3億1187万5200通り・・・。52種類のカードから1枚目を選び、残った51種類から2枚目…と樹形図で表せれば末端は膨大な枝数となるため書けません。しかし、上記の計算式では手元に配られる5種類のカードの並び順(位置)が異なる場合も含まれるため、その分を差し引きしなければなりません。

例えて言えば、最初に配られた5種類のカードに①～⑤までの番号を付けます。手元のカードは、①②③④⑤になります。
ではこの先、⑤④③②①　や　①②③⑤④、または③⑤①④②　などのカードが配られた場合はどうでしようか？　配られる位置は違いますが、カードの種類は同じですね。

並べる順番の違いを区別せずに52枚の中から5枚を取る全組合せ数を求めるためには、5枚のカードを並べる順番が何通りあるのかを調べる必要があります。以下の表にそれをまとめました。
1 ①②③④⑤ 25 ②①③④⑤ 49 ③①②④⑤ 73 ④①②③⑤ 97 ⑤①②③④
2 ①②③⑤④ 26 ②①③⑤④ 50 ③①②⑤④ 74 ④①②⑤③ 98 ⑤①②④③
3 ①②④③⑤ 27 ②①④③⑤ 51 ③①④②⑤ 75 ④①③②⑤ 99 ⑤①③②④
4 ①②④⑤③ 28 ②①④⑤③ 52 ③①④⑤② 76 ④①③⑤② 100 ⑤①③④②
5 ①②⑤③④ 29 ②①⑤③④ 53 ③①⑤②④ 77 ④①⑤②③ 101 ⑤①④②③
6 ①②⑤④③ 30 ②①⑤④③ 54 ③①⑤④② 78 ④①⑤③② 102 ⑤①④③②
7 ①③②④⑤ 31 ②③①④⑤ 55 ③②①④⑤ 79 ④②①③⑤ 103 ⑤②①③④
8 ①③②⑤④ 32 ②③①⑤④ 56 ③②①⑤④ 80 ④②①⑤③ 104 ⑤②①④③
9 ①③④②⑤ 33 ②③④①⑤ 57 ③②④①⑤ 81 ④②③①⑤ 105 ⑤②③①④
10 ①③④⑤② 34 ②③④⑤① 58 ③②④⑤① 82 ④②③⑤① 106 ⑤②③④①
11 ①③⑤②④ 35 ②③⑤①④ 59 ③②⑤①④ 83 ④②⑤①③ 107 ⑤②④①③
12 ①③⑤④② 36 ②③⑤④① 60 ③②⑤④① 84 ④②⑤③① 108 ⑤②④③①
13 ①④②③⑤ 37 ②④①③⑤ 61 ③④①②⑤ 85 ④③①②⑤ 109 ⑤③①②④
14 ①④②⑤③ 38 ②④①⑤③ 62 ③④①⑤② 86 ④③①⑤② 110 ⑤③①④②
15 ①④③②⑤ 39 ②④③①⑤ 63 ③④②①⑤ 87 ④③②①⑤ 111 ⑤③②①④
16 ①④③⑤② 40 ②④③⑤① 64 ③④②⑤① 88 ④③②⑤① 112 ⑤③②④①
17 ①④⑤②③ 41 ②④⑤①③ 65 ③④⑤①② 89 ④③⑤①② 113 ⑤③④①②
18 ①④⑤③② 42 ②④⑤③① 66 ③④⑤②① 90 ④③⑤②① 114 ⑤③④②①
19 ①⑤②③④ 43 ②⑤①③④ 67 ③⑤①②④ 91 ④⑤①②③ 115 ⑤④①②③
20 ①⑤②④③ 44 ②⑤①④③ 68 ③⑤①④② 92 ④⑤①③② 116 ⑤④①③②
21 ①⑤③②④ 45 ②⑤③①④ 69 ③⑤②①④ 93 ④⑤②①③ 117 ⑤④②①③
22 ①⑤③④② 46 ②⑤③④① 70 ③⑤②④① 94 ④⑤②③① 118 ⑤④②③①
23 ①⑤④②③ 47 ②⑤④①③ 71 ③⑤④①② 95 ④⑤③①② 119 ⑤④③①②
24 ①⑤④③② 48 ②⑤④③① 72 ③⑤④②① 96 ④⑤③②① 120 ⑤④③②①

5枚のカードを並べる順番は全部で120通り(5×4×3×2×1)あることがわかりました。つまり52枚のカードの中から任意に選んだ ①、②、③、④、⑤の5種類のカードには最初に求めた3億1187万5200通りの中に120パターン重複しています。

よって、52枚の中から5枚を取る全組合せ数は、3億1187万5200から120を除じた数＝ 259万8960通りとなります。
(52 × 51 × 50 × 49 × 48) ÷ (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 2,598,960

数学の世界では、「異なる n 個のものから異なる m 個のものを、並べる順番の違いを区別せずに並べたもの=重複を持たない組合せ」の総数は、Combinationと呼ばれ、その頭文字から、 nCm または C(n, m) のような記号を使って表します。

nCm = [ n × (n-1) × (n-2) ×・・・× (n-m+1) ] ÷ [ m × (m-1) × (m-2) ×・・・× 1 ]

ポーカーの確率計算ではこの記号を頻繁に使用しますので、上の定義を覚えておいてください。

ジャックス・オア・ベターで最初に配られる手札の全組合せ数は、52C5 = 259万8960通りとなります。


管理人がよくプレイしているマイクロゲーミングの「Deuces and Joker」で、最初に配られる手札の全組合せ数を求めてみましょう。
こちらはジョーカーを1枚含めた1組53枚のトランプ(1 deck 53 cards w/1 Joker)を使用しますので、
53C5 = (53 × 52 × 51 × 50 × 49) ÷ (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 2,869,685

同様に、「Double Joker」のようにジョーカーを2枚使用する場合(1 deck 54 cards w/2 Jokers)も以下のようにして求めることができますね。
54C5 = (54 × 53 × 52 × 51 × 50) ÷ (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 3,162,510

これで各ポーカーゲームにおいて、最初に配られる手札の組合せ総数を知ることができました。

次回は役の出現確率の算出方法を掲載します。
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