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ロイヤル関連カードの組合せ総数

下表は最初に配られた5枚のカードの中にロイヤルに関連するカード(各マークの10,J,Q,K,A)が何枚あるのかを表したものです。

1組52枚のトランプを使用した全259万8960手に対して、1〜126までの126パターン存在します。(ロイヤルに関連するカードの構成を参照)

S,H,D,Cは4種類のマーク、スペード,ハート,ダイヤ,クラブを意味します。その下の4つの数字はロイヤル関連カードが各マークに何枚入っているかを表します。例えば、10番目のパターン「0 4 0 1」の場合は、5枚のカードの中にハートの10〜Aが4枚とクラブの10〜Aが1枚ある状態となります。
「2-9's」とは、ロイヤルフラッシュに関連のないカード(各マークの2〜9)を意味します。全部で32枚(52-4*8)あります。

この126パターンを18種類の構成に分けてぞれぞれの組合せを算出します。

ROYAL関連カードの構成 10,J,Q,K,A 2-9's 組合せ 計算過程　　　　(便宜上、nCm を C[n,m] とします)
S H D C 合計 合計
1 5 (S) 5 0 0 0 5 0 4
C[4,1] * C[5,5]
= 4 * 1
= 4
2 5 (H) 0 5 0 0 5 0
3 5 (D) 0 0 5 0 5 0
4 5 (C) 0 0 0 5 5 0
5 4-1 (S_1) 4 1 0 0 5 0 300
C[4,1] * C[5,4] * C[3,1] * C[5,1]
= 4 * 5 * 3 * 5
= 12 * 25
= 300
6 4-1 (S_2) 4 0 1 0 5 0
7 4-1 (S_3) 4 0 0 1 5 0
8 4-1 (H_1) 1 4 0 0 5 0
9 4-1 (H_2) 0 4 1 0 5 0
10 4-1 (H_3) 0 4 0 1 5 0
11 4-1 (D_1) 1 0 4 0 5 0
12 4-1 (D_2) 0 1 4 0 5 0
13 4-1 (D_3) 0 0 4 1 5 0
14 4-1 (C_1) 1 0 0 4 5 0
15 4-1 (C_2) 0 1 0 4 5 0
16 4-1 (C_3) 0 0 1 4 5 0
17 4 (S) 4 0 0 0 4 1 640
C[4,1] * C[5,4] * C[32,1]
= 4 * 5 * 32
= 4 * 160
= 640
18 4 (H) 0 4 0 0 4 1
19 4 (D) 0 0 4 0 4 1
20 4 (C) 0 0 0 4 4 1
21 3-2 (S_1) 3 2 0 0 5 0 1200
C[4,1] * C[5,3] * C[3,1] * C[5,2]
= 4 * 10 * 3 * 10
= 12 * 100
= 1200
22 3-2 (S_2) 3 0 2 0 5 0
23 3-2 (S_3) 3 0 0 2 5 0
24 3-2 (H_1) 2 3 0 0 5 0
25 3-2 (H_2) 0 3 2 0 5 0
26 3-2 (H_3) 0 3 0 2 5 0
27 3-2 (D_1) 2 0 3 0 5 0
28 3-2 (D_2) 0 2 3 0 5 0
29 3-2 (D_3) 0 0 3 2 5 0
30 3-2 (C_1) 2 0 0 3 5 0
31 3-2 (C_2) 0 2 0 3 5 0
32 3-2 (C_3) 0 0 2 3 5 0
33 3-1-1 (S_1) 3 1 1 0 5 0 3000
C[4,1] * C[5,3] * C[3,2] * C[5,1] * C[5,1]
= 4 * 10 * 3 * 5 * 5
= 12 * 250
= 3000
34 3-1-1 (S_2) 3 1 0 1 5 0
35 3-1-1 (S_3) 3 0 1 1 5 0
36 3-1-1 (H_1) 1 3 1 0 5 0
37 3-1-1 (H_2) 1 3 0 1 5 0
38 3-1-1 (H_3) 0 3 1 1 5 0
39 3-1-1 (D_1) 1 1 3 0 5 0
40 3-1-1 (D_2) 1 0 3 1 5 0
41 3-1-1 (D_3) 0 1 3 1 5 0
42 3-1-1 (C_1) 1 1 0 3 5 0
43 3-1-1 (C_2) 1 0 1 3 5 0
44 3-1-1 (C_3) 0 1 1 3 5 0
45 3-1 (S_1) 3 1 0 0 4 1 19200
C[4,1] * C[5,3] * C[3,1] * C[5,1] * C[32,1]
= 4 * 10 * 3 * 5 * 32
= 12 * 1600
= 19200
46 3-1 (S_2) 3 0 1 0 4 1
47 3-1 (S_3) 3 0 0 1 4 1
48 3-1 (H_1) 1 3 0 0 4 1
49 3-1 (H_2) 0 3 1 0 4 1
50 3-1 (H_3) 0 3 0 1 4 1
51 3-1 (D_1) 1 0 3 0 4 1
52 3-1 (D_2) 0 1 3 0 4 1
53 3-1 (D_3) 0 0 3 1 4 1
54 3-1 (C_1) 1 0 0 3 4 1
55 3-1 (C_2) 0 1 0 3 4 1
56 3-1 (C_3) 0 0 1 3 4 1
57 3 (S) 3 0 0 0 3 2 19840
C[4,1] * C[5,3] * C[32,2]
= 4 * 10 * 496
= 4 * 4960
= 19840
58 3 (H) 0 3 0 0 3 2
59 3 (D) 0 0 3 0 3 2
60 3 (C) 0 0 0 3 3 2
61 2-2-1 (SH_1) 2 2 1 0 5 0 6000
C[4,2] * C[5,2] * C[5,2] * C[2,1] * C[5,1]
= 6 * 10 * 10 * 2 * 5
= 12 * 500
= 6000
62 2-2-1 (SH_2) 2 2 0 1 5 0
63 2-2-1 (SD_1) 2 1 2 0 5 0
64 2-2-1 (SD_2) 2 0 2 1 5 0
65 2-2-1 (SC_1) 2 1 0 2 5 0
66 2-2-1 (SC_2) 2 0 1 2 5 0
67 2-2-1 (HD_1) 1 2 2 0 5 0
68 2-2-1 (HD_2) 0 2 2 1 5 0
69 2-2-1 (HC_1) 1 2 0 2 5 0
70 2-2-1 (HC_2) 0 2 1 2 5 0
71 2-2-1 (DC_1) 1 0 2 2 5 0
72 2-2-1 (DC_2) 0 1 2 2 5 0
73 2-2 (SH) 2 2 0 0 4 1 19200
C[4,2] * C[5,2] * C[5,2] * C[32,1]
= 6 * 10 * 10 * 32
= 6 * 3200
= 19200
74 2-2 (SD) 2 0 2 0 4 1
75 2-2 (SC) 2 0 0 2 4 1
76 2-2 (HD) 0 2 2 0 4 1
77 2-2 (HC) 0 2 0 2 4 1
78 2-2 (DC) 0 0 2 2 4 1
79 2-1-1-1 (S) 2 1 1 1 5 0 5000
C[4,1] * C[5,2] * C[3,3] * C[5,1] * C[5,1] * C[5,1]
= 4 * 10 *1 * 5 * 5 * 5
= 4 * 1250
= 5000
80 2-1-1-1 (H) 1 2 1 1 5 0
81 2-1-1-1 (D) 1 1 2 1 5 0
82 2-1-1-1 (C) 1 1 1 2 5 0
83 2-1-1 (S_1) 2 1 1 0 4 1 96000
C[4,1] * C[5,2] * C[3,2] * C[5,1] * C[5,1] * C[32,1]
= 4 * 10 * 3 * 5 * 5 * 32
= 12 * 8000
= 96000
84 2-1-1 (S_2) 2 1 0 1 4 1
85 2-1-1 (S_3) 2 0 1 1 4 1
86 2-1-1 (H_1) 1 2 1 0 4 1
87 2-1-1 (H_2) 1 2 0 1 4 1
88 2-1-1 (H_3) 0 2 1 1 4 1
89 2-1-1 (D_1) 1 1 2 0 4 1
90 2-1-1 (D_2) 1 0 2 1 4 1
91 2-1-1 (D_3) 0 1 2 1 4 1
92 2-1-1 (C_1) 1 1 0 2 4 1
93 2-1-1 (C_2) 1 0 1 2 4 1
94 2-1-1 (C_3) 0 1 1 2 4 1
95 2-1 (S_1) 2 1 0 0 3 2 297600
C[4,1] * C[5,2] * C[3,1] * C[5,1] * C[32,2]
= 4 * 10 * 3 * 5 * 496
= 12 * 24800
= 297600
96 2-1 (S_2) 2 0 1 0 3 2
97 2-1 (S_3) 2 0 0 1 3 2
98 2-1 (H_1) 1 2 0 0 3 2
99 2-1 (H_2) 0 2 1 0 3 2
100 2-1 (H_3) 0 2 0 1 3 2
101 2-1 (D_1) 1 0 2 0 3 2
102 2-1 (D_2) 0 1 2 0 3 2
103 2-1 (D_3) 0 0 2 1 3 2
104 2-1 (C_1) 1 0 0 2 3 2
105 2-1 (C_2) 0 1 0 2 3 2
106 2-1 (C_3) 0 0 1 2 3 2
107 2 (S) 2 0 0 0 2 3 198400
4 * C[5,2] * C[32,3]
= 4 * 10 * 4960
= 4 * 49600
= 198400
108 2 (H) 0 2 0 0 2 3
109 2 (D) 0 0 2 0 2 3
110 2 (C) 0 0 0 2 2 3
111 1-1-1-1 1 1 1 1 4 1 20000
C[4,4] * C[5,1] * C[5,1] * C[5,1] * C[5,1] * C[32,1]
= 1 * 5 * 5 * 5 * 5 * 32
= 1 * 625 * 32
= 20000
112 1-1-1 (NC) 1 1 1 0 3 2 248000
C[4,3] * C[5,1] * C[5,1] * C[5,1] * C[32,2]
= 4 * 5 * 5 * 5 * 496
= 4 * 62000
= 248000
113 1-1-1 (ND) 1 1 0 1 3 2
114 1-1-1 (NH) 1 0 1 1 3 2
115 1-1-1 (NS) 0 1 1 1 3 2
116 1-1 (SH) 1 1 0 0 2 3 744000
C[4,2] * C[5,1] * C[5,1] * C[32,3]
= 6 * 5 * 5 * 4960
= 6 * 124000
= 744000
117 1-1 (SD) 1 0 1 0 2 3
118 1-1 (SC) 1 0 0 1 2 3
119 1-1 (HD) 0 1 1 0 2 3
120 1-1 (HC) 0 1 0 1 2 3
121 1-1 (DC) 0 0 1 1 2 3
122 1 (S) 1 0 0 0 1 4 719200
C[4,1] * C[5,1] * C[32,4]
= 4 * 5 * 35960
= 4 * 179800
= 719200
123 1 (H) 0 1 0 0 1 4
124 1 (D) 0 0 1 0 1 4
125 1 (C) 0 0 0 1 1 4
126 0 0 0 0 0 0 5 201376
C[32,5]
= 201376

計算過程の例

パターン5〜16の4-1構成は、あるマークでロイヤルに関連するカード(10,J,Q,K,A)を4枚含み、残りの1枚はそれ以外のマークでロイヤル関連カードが1枚あるという意味です。4枚の方はマークが4種類ありますのでC[4,1]、カードの数字は10,J,Q,K,Aの5個から4枚選びますのでC[5,4]となります。他の1枚は4枚で選ばれたマークを除いて3種類マークから1種類選びますのでC[3,1]、カードの数字は10,J,Q,K,Aの5個から1枚選びますのでC[5,1]となります。よって計算式は、C[4,1] * C[5,4] * C[3,1] * C[5,1] となります。4-1構成が12パターンあるのはマークに関係する、C[4,1]とC[3,1]の組合せがあるからです。(4*3=12)


18の構成別に組合せ数をまとめました。構成番号2〜3はロイヤルリーチとなり、940通り存在しますので出現確率は約1/2765と思ってた以上に出やすいことがわかりますね。(940÷2598960)

構成番号 構成名 関連数 組合せ
1 5 5 4 4
2 4-1 4 300 940
3 4 640
4 3-2 3 1200 43240
5 3-1-1 3000
6 3-1 19200
7 3 19840
8 2-2-1 2 6000 622200
9 2-2 19200
10 2-1-1-1 5000
11 2-1-1 96000
12 2-1 297600
13 2 198400
14 1-1-1-1 1 20000 1731200
15 1-1-1 248000
16 1-1 744000
17 1 719200
18 0 0 201376 201376
合計 - - 2598960 2598960
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