ナンバーズ4 ボックスの当せん確率と金額

ナンバーズ4のボックスは、当せん数字に同じ数字が含まれる場合と含まれない場合とで、当せん確率と当せん金額が四通りに分かれるため、ナンバーズ3のボックスと比べ、算出方法が複雑になります。

ストレートの確率はこちら  セットの確率はこちら

今回は、ナンバーズ4のボックスの理論上の当せん確率と当せん金額を算出します。

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当せん確率と金額の理論値

ナンバーズ4の申込カード裏面やパンフレットなどに記載されている、当せん確率と当せん金額の理論値(公表値)を以下に示します。ナンバーズ4には、数字のほかに当せん条件の異なる「申込タイプ」の選択が必要で、「ストレート」、「ボックス」、および、「セット」の三種類が用意されています。

ナンバーズ4の「ボックス」は、四種類の抽せん数字によって当せん確率と当せん見込み金額がそれぞれ異なります。 いずれも、「ストレート」の当せん確率(1万分の1)と比べて当たりやすくなっていますが、その分、当せん見込み金額は37500円〜225000円と少なくなっています。

ボックスの当せん確率

「ボックス」は、申込数字と抽せん数字が並び順に関係なく一致した場合に当せんとなる申込タイプです。
ただし、ナンバーズの申込ルールにより 「1111」など、4つとも同じ数字の申し込みはできません。

抽せん数字によって異なる、ボックスの当せん数

ナンバーズ4のボックスは、4ケタの抽せん数字(当せん数字)の各数字が一致すれば並びの順序は問いませんので、「1234」のように抽せん数字がすべて異なる数字の場合、下表にある24個の数字が当せん数字となります。 ※4ケタの数字を並べる順番は、全部で24通り(4×3×2×1)あります。

次に、抽せん数字が「1123」と、同じ数字が2個含まれている場合について考えてみます。
「1123」の並べ方は、上記 「1234」と同様に全部で24通りありますが、以下の24個の当せん数字の中に同じ当せん数字が重複して入っていますので、当せん数字は半分の12個に減ります。

同様に、抽せん数字が「1122」と、4ケタの数字の中に異なる数字のペアが2つある場合も当せん数字は重複し、以下のように6つに色分けされた6種類の数字が当せん数字となります。

そして、抽せん数字が「1112」と、4ケタの数字の中に同じ数字が3つ含まれる場合は、重複している当せん数字がさらに増し、ボックスの当せん数字は4個だけとなります。

これにより、
4ケタの数字の中に同じ数字が有るか無いかによって当せん数が異なることが分かります。

数字の並びは関係なく、数字の組合せだけを当てる

0〜9の数字の中から4ケタの数字を選ぶナンバーズ4の数字の組合せ数は全部で1万通りあります。
ストレートに当せんする確率はどの数字を選んでも1万分の1でしたが、ボックスでは抽せん数字によって当せんとなる本数が異なるため、当せん確率も当然違ってきます。

「4ケタの数字の中に同じ数字が3つ」を申込数字として選んだ場合の当せん確率は、0000番から9999番までの数字が書かれた1万個の白いボールが入った袋の中から、申込数字を赤色のボール、申込数字を並び替えてできる4ケタの3つの数字を青色のボールに差し替えて、この袋の中から玉を一個取り出すとき、それが赤色または青色である確率を求める問題と同じになります。

これを確率の式に当てはめると、「起こり得るすべての場合の数」は1万通り、「事象Aの起こる場合の数」は、取り出したボールが赤色または青色である場合の数を表しますので、4通りとなります。

よって、ナンバーズ4のボックスにおいて、「4ケタの数字の中に同じ数字が3つ」を申込数字として選んだ場合の当せん確率は、10000分の4となります。その他の数字構成についても同様にして求めます。

ナンバーズ4のボックスの当せん確率をまとめると以下のようになります。

ナンバーズ4 数字構成の種類 当せん確率
 4ケタの数字の中に同じ数字が3つ  4/10000
 4ケタの数字の中に異なる数字のペアが2つ  6/10000
 4ケタの数字の中に同じ数字が2つ 12/10000
 4ケタの数字がすべて異なる数字 24/10000

ナンバーズ4のボックスはナンバーズ3と比べて桁数が一つ多いため、数字構成別の当せん確率と金額が二種類から四種類へと増えていますが、どの数字構成を申し込んでも当せん確率と当せん金額による総合的な期待値は変わりません。

ナンバーズ4 数字構成の種類分けと呼び名について

ナンバーズの抽せん番号は各ケタ毎にそれぞれ0〜9までの番号を決定する為、同じ数字が重複したり、全て異なる数字になったりと毎回様々な番号が抽せんされます。

 シングル ・・・ 4ケタの数字がすべて異なる数字。  「1234」、「2345」など
 ダブル ・・・ 4ケタの数字の中に同じ数字が2つ。  「1123」、「2234」など
 ダブルダブル ・・・ 4ケタの数字の中に異なる数字のペアが2つ。 「1122」、「2233」など
 トリプル ・・・ 4ケタの数字の中に同じ数字が3つ。  「1112」、「2223」など
 オール ・・・ 4ケタの数字がすべて同じ数字。  「1111」、「2222」など

数字構成の種類と、その個数

ナンバーズ4のボックスの理論上の当せん金額を求める前に、4ケタの1万通りの数字が、4ケタの数字の中に同じ数字が有るか無いかによって分類された五種類の数字構成の中にそれぞれどのように振り分けられるのかを調べる必要があります。 以下に、数字構成別に振り分けられる数字の個数を求めます。

4ケタの数字がすべて同じ数字で構成されたもの (オール)

「1111」や「2222」など、4ケタの数字がすべて同じ数字の構成は、4つの数字のいずれかを「●」の記号を使って置き換えると、残った3つの数字も同じ数なので、以下のように表せます。

並べる順番は全部で24通りありますが、並び替えても23個が重複しますので、4ケタの数字がすべて同じ数字の構成は1パターンのみとなります。 (44 = 1)

この1パターンに対し、「●」の中には0から9までの10種類の数が入りますので、4ケタの数字がすべて同じ数字の個数は、1×10=10個となります。

4ケタの数字の中に同じ数字が3つある構成 (トリプル)

「1112」や「1121」など、4ケタの数字の中に同じ数字が3つと、ポーカーでいう “スリーカード” が存在し、残り1つはそれ以外の数字となる構成では、「1112」なら「●●●−」、「1121」なら「●●−●」と置き換えて表します。 「−」の中には「●」以外の数字が入ります。

並べる順番は上記と同じく、全部で24通りありますが、重複しているパターンを取り除きますので、以下の4パターンとなります。 (43 = 4)

「●」の中には0から9までの10種類の数が入り、「−」の中には4ケタの数字がすべて同じにならないように「●」以外の数字が入ることになりますので、4ケタの数字の中に同じ数字が3つある構成1パターンに対して、10×(10−1)=90個の数字があることが分かります。

これが全部で4パターンありますので、4ケタの数字の中に同じ数字が3つある数字の個数は、
全部で4×90=360個 となります。

4ケタの数字の中に異なる数字のペアが2つある構成 (ダブルダブル)

「1122」や「1212」など、4ケタの数字の中にポーカーでいう “ツーペア” が存在する構成で、二組のペアの数字は4ケタの数字がすべて同じ数字になるのを避けるために重複してはなりません。
「1122」なら「●●○○」、「1212」なら「●○●○」と置き換えて表します。

同様に、並べる順番は全部で24通りありますが、重複している18のパターンを取り除きますので、以下の6パターンとなります。 (42 = 6)

ここで注意すべき点があります。上記の6つのパターンを見ると、「●●○○」と「○○●●」ように丸の色を反転させただけで中に入る数字のパターンが変わらないものが3つ存在しますので、それらを取り除きます。 よって、以下の3パターンに絞られます。

トリプルと同様に、「●」の中には0から9までの10種類の数が入り、「○」の中には4ケタの数字がすべて同じにならないように「●」以外の数字が入ることになりますので、4ケタの数字の中に異なる数字のペアが2つある構成1パターンに対して、10×(10−1)=90個の数字があります。

これが全部で3パターンありますので、4ケタの数字の中に異なる数字のペアが2つある数字の個数は、
全部で3×90=270個 となります。

4ケタの数字の中に同じ数字が2つある構成 (ダブル)

「1123」や「1213」など、4ケタの数字の中にポーカーでいう “ワンペア” が存在する構成で、残り2つの数字はペアで使った数字以外で、なおかつ、ダブルダブルにならないように残りの2つの数字が同じであってはなりません。 「1123」なら「●●−−」、「1213」なら「●−●−」と置き換えます。 「−」の中には「●」以外の数字が入り、「−−」はその他の数字でペアとなってはいけません。

並べる順番は全部で24通りあり、重複しているパターンを除きますので、以下の6パターンとなります。

「●」の中には0から9までの10種類の数が入り、2つの「−」には「●」以外の9種類の数が入ります。 この9種類の数字がペア(重複)にならないように2つの「−」に入る組合せは、ナンバーズ3の数字構成の解説ページ で使った順列を用いて、全部で72通りとなります。

この数字構成1パターンに対して、10×72=720個の数字があり、これが全部で6パターンありますので、4ケタの数字の中に同じ数字が2つある数字の個数は、6×720=4320個となります。

4ケタの数字がすべて異なる数字で構成されたもの (シングル)

4ケタの数字構成は全部で5種類となりますので、これは1万通りある4ケタの数字の個数から上記4つの構成の数字の個数を引けば求まります。 4ケタの数字がすべて異なる数字の個数は、
10000−(10+360+270+4320)=5040個となります。

順列を使うと、0から9までの10個の数字の中から異なる4個の数字を選び出し、4ケタの整数を作る組合せの総数を求めますので、以下のようになります。

ボックスの当せん金額

ナンバーズの当せん金額の理論値は、毎回全パターンの数字に申し込みをして、抽せん数字が均等であったと仮定して算出されています。 「抽せん数字が均等」とは、0000番から9999番までの10000通りの抽せん数字(当せん数字)が偏りなく出現する状態で、10000回抽せんを行えば、0000番から9999番までの当せん数字がそれぞれ1回ずつ出現することを意味します。

当せん金の理論値計算に必要な購入枚数と金額

ナンバーズ4のボックスは、「1111」や「2222」など、4つとも同じ数字の申し込みができませんので、理論上の当せん金額は、それらを除いた9990通りの申込数字と、1万通りの抽せん数字を掛け合わせた、全9990万通りの組合せをもとにして数字構成別に算出します。

その9990万通りの組合せを満たすために必要な購入枚数は、1万通りの抽せん数字それぞれに対し、9990通りの数字を申し込みますので、10000×9990=9990万枚となります。

ナンバーズの参加費は、ナンバーズ3、ナンバーズ4いずれも数字の種類や申込タイプにかかわらず、1口200円となっていますので、ナンバーズ4のボックスの理論上の当せん金額を算出するために必要なくじ券の購入総額は、200円×9990万枚=199億8000万円となります。

ナンバーズの当せん金の仕組みと還元率(換金率)

ナンバーズの当せん金は、発売総額(売上総額)と当せん本数によって変わります。これは、発売総額の一部を収益金や手数料として差し引き、残ったお金を当せん者同士で均等に分け合うためです。

売り上げのうち、購入者に当せん金として払い戻される金額の割合を「還元率」または「換金率」といい、数字選択式宝くじであるナンバーズは「当せん金付証票法」により、還元率は45%となっています。

これに基づいて、ナンバーズ4のボックスの当せん金額を数字構成別に算出すると以下のようになります。

< ナンバーズ4 ボックスの当せん金額算出表(数字構成別) >
  [1]
オール
[2]
トリプル
[3]
ダブルダブル
[4]
ダブル
[5]
シングル

(合 計)
申込数字 10通り 360通り 270通り 4320通り 5040通り 1万通り
抽せん回数 1万回 1万回 1万回 1万回  
全購入枚数 360万枚 270万枚 4320万枚 5040万枚 9990万枚
購入総額 7億2000万円 5億4000万円 86億4000万円 100億8000万円 199億8000万円
還 元 率 45% 45% 45% 45%  
還元金額 3億2400万円 2億4300万円 38億8800万円 45億3600万円 89億9100万円
当せん確率 4/10000 6/10000 12/10000 24/10000  
当せん本数 1440本 1620本 51840本 120960本 175860本
当せん金額 225000円 150000円 75000円 37500円  

抽せん数字に4つとも同じ数字が出た場合、その回に購入した9990枚のくじ券が丸損となってしまいますが、理論上の当せん確率と金額はこれらのケースを加味して算出されています。

平均当せん確率と金額

ナンバーズ4のボックスの平均当せん確率は、上記の算出表により、9990万枚の購入に対して当せん数は175860本となりますので、175860 ÷ 9990万 ≒ 568分の1となります。

平均当せん金額も同様に、89億9100万円の還元金額を 175860本の当せん数で均等に配分しますので、89億9100万円 ÷ 175860 ≒ 51126円となります。

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