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ナンバーズ４　ボックスの当せん確率と金額

ナンバーズ４のボックスは、当せん数字に同じ数字が含まれる場合と含まれない場合とで、当せん確率と当せん金額が四通りに分かれるため、ナンバーズ３のボックスと比べ、算出方法が複雑になります。

　　

今回は、ナンバーズ４のボックスの理論上の当せん確率と当せん金額を算出します。

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当せん確率と金額の理論値

ナンバーズ４の申込カード裏面やパンフレットなどに記載されている、当せん確率と当せん金額の理論値（公表値）を以下に示します。ナンバーズ４には、数字のほかに当せん条件の異なる「申込タイプ」の選択が必要で、「ストレート」、「ボックス」、および、「セット」の三種類が用意されています。

ナンバーズ４の「ボックス」は、四種類の抽せん数字によって当せん確率と当せん見込み金額がそれぞれ異なります。　いずれも、「ストレート」の当せん確率（１万分の１）と比べて当たりやすくなっていますが、その分、当せん見込み金額は３７５００円〜２２５０００円と少なくなっています。

ボックスの当せん確率

「ボックス」は、申込数字と抽せん数字が並び順に関係なく一致した場合に当せんとなる申込タイプです。
ただし、ナンバーズの申込ルールにより 「１１１１」など、４つとも同じ数字の申し込みはできません。

抽せん数字によって異なる、ボックスの当せん数

ナンバーズ４のボックスは、４ケタの抽せん数字（当せん数字）の各数字が一致すれば並びの順序は問いませんので、「１２３４」のように抽せん数字がすべて異なる数字の場合、下表にある２４個の数字が当せん数字となります。　※４ケタの数字を並べる順番は、全部で２４通り（４×３×２×１）あります。

次に、抽せん数字が「１１２３」と、同じ数字が２個含まれている場合について考えてみます。
「１１２３」の並べ方は、上記 「１２３４」と同様に全部で２４通りありますが、以下の２４個の当せん数字の中に同じ当せん数字が重複して入っていますので、当せん数字は半分の１２個に減ります。

同様に、抽せん数字が「１１２２」と、４ケタの数字の中に異なる数字のペアが２つある場合も当せん数字は重複し、以下のように６つに色分けされた６種類の数字が当せん数字となります。

そして、抽せん数字が「１１１２」と、４ケタの数字の中に同じ数字が３つ含まれる場合は、重複している当せん数字がさらに増し、ボックスの当せん数字は４個だけとなります。

これにより、
４ケタの数字の中に同じ数字が有るか無いかによって当せん数が異なることが分かります。

数字の並びは関係なく、数字の組合せだけを当てる

０〜９の数字の中から４ケタの数字を選ぶナンバーズ４の数字の組合せ数は全部で１万通りあります。
ストレートに当せんする確率はどの数字を選んでも１万分の１でしたが、ボックスでは抽せん数字によって当せんとなる本数が異なるため、当せん確率も当然違ってきます。

「４ケタの数字の中に同じ数字が３つ」を申込数字として選んだ場合の当せん確率は、００００番から９９９９番までの数字が書かれた１万個の白いボールが入った袋の中から、申込数字を赤色のボール、申込数字を並び替えてできる４ケタの３つの数字を青色のボールに差し替えて、この袋の中から玉を一個取り出すとき、それが赤色または青色である確率を求める問題と同じになります。

これを確率の式に当てはめると、「起こり得るすべての場合の数」は１万通り、「事象Ａの起こる場合の数」は、取り出したボールが赤色または青色である場合の数を表しますので、４通りとなります。

よって、ナンバーズ４のボックスにおいて、「４ケタの数字の中に同じ数字が３つ」を申込数字として選んだ場合の当せん確率は、１００００分の４となります。その他の数字構成についても同様にして求めます。

ナンバーズ４のボックスの当せん確率をまとめると以下のようになります。

ナンバーズ４　数字構成の種類	当せん確率
４ケタの数字の中に同じ数字が３つ	4/10000
４ケタの数字の中に異なる数字のペアが２つ	6/10000
４ケタの数字の中に同じ数字が２つ	12/10000
４ケタの数字がすべて異なる数字	24/10000

ナンバーズ４のボックスはナンバーズ３と比べて桁数が一つ多いため、数字構成別の当せん確率と金額が二種類から四種類へと増えていますが、どの数字構成を申し込んでも当せん確率と当せん金額による総合的な期待値は変わりません。

数字構成の種類と、その個数

ナンバーズ４のボックスの理論上の当せん金額を求める前に、４ケタの１万通りの数字が、４ケタの数字の中に同じ数字が有るか無いかによって分類された五種類の数字構成の中にそれぞれどのように振り分けられるのかを調べる必要があります。　以下に、数字構成別に振り分けられる数字の個数を求めます。

４ケタの数字がすべて同じ数字で構成されたもの （オール）

「１１１１」や「２２２２」など、４ケタの数字がすべて同じ数字の構成は、４つの数字のいずれかを「●」の記号を使って置き換えると、残った３つの数字も同じ数なので、以下のように表せます。

並べる順番は全部で２４通りありますが、並び替えても２３個が重複しますので、４ケタの数字がすべて同じ数字の構成は１パターンのみとなります。 （₄Ｃ₄ ＝ １）

この１パターンに対し、「●」の中には０から９までの１０種類の数が入りますので、４ケタの数字がすべて同じ数字の個数は、１×１０＝１０個となります。

４ケタの数字の中に同じ数字が３つある構成 （トリプル）

「１１１２」や「１１２１」など、４ケタの数字の中に同じ数字が３つと、ポーカーでいう “スリーカード” が存在し、残り１つはそれ以外の数字となる構成では、「１１１２」なら「●●●−」、「１１２１」なら「●●−●」と置き換えて表します。　「−」の中には「●」以外の数字が入ります。

並べる順番は上記と同じく、全部で２４通りありますが、重複しているパターンを取り除きますので、以下の４パターンとなります。 （₄Ｃ₃ ＝ ４）

「●」の中には０から９までの１０種類の数が入り、「−」の中には４ケタの数字がすべて同じにならないように「●」以外の数字が入ることになりますので、４ケタの数字の中に同じ数字が３つある構成１パターンに対して、１０×（１０−１）＝９０個の数字があることが分かります。

これが全部で４パターンありますので、４ケタの数字の中に同じ数字が３つある数字の個数は、
全部で４×９０＝３６０個 となります。

４ケタの数字の中に異なる数字のペアが２つある構成 （ダブルダブル）

「１１２２」や「１２１２」など、４ケタの数字の中にポーカーでいう “ツーペア” が存在する構成で、二組のペアの数字は４ケタの数字がすべて同じ数字になるのを避けるために重複してはなりません。
「１１２２」なら「●●○○」、「１２１２」なら「●○●○」と置き換えて表します。

同様に、並べる順番は全部で２４通りありますが、重複している１８のパターンを取り除きますので、以下の６パターンとなります。 （₄Ｃ₂ ＝ ６）

ここで注意すべき点があります。上記の６つのパターンを見ると、「●●○○」と「○○●●」ように丸の色を反転させただけで中に入る数字のパターンが変わらないものが３つ存在しますので、それらを取り除きます。　よって、以下の３パターンに絞られます。

トリプルと同様に、「●」の中には０から９までの１０種類の数が入り、「○」の中には４ケタの数字がすべて同じにならないように「●」以外の数字が入ることになりますので、４ケタの数字の中に異なる数字のペアが２つある構成１パターンに対して、１０×（１０−１）＝９０個の数字があります。

これが全部で３パターンありますので、４ケタの数字の中に異なる数字のペアが２つある数字の個数は、
全部で３×９０＝２７０個 となります。

４ケタの数字の中に同じ数字が２つある構成 （ダブル）

「１１２３」や「１２１３」など、４ケタの数字の中にポーカーでいう “ワンペア” が存在する構成で、残り２つの数字はペアで使った数字以外で、なおかつ、ダブルダブルにならないように残りの２つの数字が同じであってはなりません。　「１１２３」なら「●●−−」、「１２１３」なら「●−●−」と置き換えます。　「−」の中には「●」以外の数字が入り、「−−」はその他の数字でペアとなってはいけません。

並べる順番は全部で２４通りあり、重複しているパターンを除きますので、以下の６パターンとなります。

「●」の中には０から９までの１０種類の数が入り、２つの「−」には「●」以外の９種類の数が入ります。　この９種類の数字がペア（重複）にならないように２つの「−」に入る組合せは、ナンバーズ３の数字構成の解説ページ で使った順列を用いて、全部で７２通りとなります。

この数字構成１パターンに対して、１０×７２＝７２０個の数字があり、これが全部で６パターンありますので、４ケタの数字の中に同じ数字が２つある数字の個数は、６×７２０＝４３２０個となります。

４ケタの数字がすべて異なる数字で構成されたもの （シングル）

４ケタの数字構成は全部で５種類となりますので、これは１万通りある４ケタの数字の個数から上記４つの構成の数字の個数を引けば求まります。　４ケタの数字がすべて異なる数字の個数は、
１００００−（１０＋３６０＋２７０＋４３２０）＝５０４０個となります。

順列を使うと、０から９までの１０個の数字の中から異なる４個の数字を選び出し、４ケタの整数を作る組合せの総数を求めますので、以下のようになります。

ボックスの当せん金額

ナンバーズの当せん金額の理論値は、毎回全パターンの数字に申し込みをして、抽せん数字が均等であったと仮定して算出されています。　「抽せん数字が均等」とは、００００番から９９９９番までの１００００通りの抽せん数字（当せん数字）が偏りなく出現する状態で、１００００回抽せんを行えば、００００番から９９９９番までの当せん数字がそれぞれ１回ずつ出現することを意味します。

当せん金の理論値計算に必要な購入枚数と金額

ナンバーズ４のボックスは、「１１１１」や「２２２２」など、４つとも同じ数字の申し込みができませんので、理論上の当せん金額は、それらを除いた９９９０通りの申込数字と、１万通りの抽せん数字を掛け合わせた、全９９９０万通りの組合せをもとにして数字構成別に算出します。

その９９９０万通りの組合せを満たすために必要な購入枚数は、１万通りの抽せん数字それぞれに対し、９９９０通りの数字を申し込みますので、１００００×９９９０＝９９９０万枚となります。

ナンバーズの参加費は、ナンバーズ３、ナンバーズ４いずれも数字の種類や申込タイプにかかわらず、1口２００円となっていますので、ナンバーズ４のボックスの理論上の当せん金額を算出するために必要なくじ券の購入総額は、２００円×９９９０万枚＝１９９億８０００万円となります。

ナンバーズの当せん金の仕組みと還元率（換金率）

ナンバーズの当せん金は、発売総額（売上総額）と当せん本数によって変わります。これは、発売総額の一部を収益金や手数料として差し引き、残ったお金を当せん者同士で均等に分け合うためです。

売り上げのうち、購入者に当せん金として払い戻される金額の割合を「還元率」または「換金率」といい、数字選択式宝くじであるナンバーズは「当せん金付証票法」により、還元率は４５％となっています。

これに基づいて、ナンバーズ４のボックスの当せん金額を数字構成別に算出すると以下のようになります。

＜ ナンバーズ４　ボックスの当せん金額算出表（数字構成別） ＞

	［１］ オール	［２］ トリプル	［３］ ダブルダブル	［４］ ダブル	［５］ シングル	（合　計）
申込数字	10通り	360通り	270通り	4320通り	5040通り	1万通り
抽せん回数	−	1万回	1万回	1万回	1万回
全購入枚数	−	360万枚	270万枚	4320万枚	5040万枚	9990万枚
購入総額	−	7億2000万円	5億4000万円	86億4000万円	100億8000万円	199億8000万円
還 元 率	−	45％	45％	45％	45％
還元金額	−	3億2400万円	2億4300万円	38億8800万円	45億3600万円	89億9100万円
当せん確率	−	4/10000	6/10000	12/10000	24/10000
当せん本数	−	1440本	1620本	51840本	120960本	175860本
当せん金額	−	225000円	150000円	75000円	37500円

抽せん数字に４つとも同じ数字が出た場合、その回に購入した９９９０枚のくじ券が丸損となってしまいますが、理論上の当せん確率と金額はこれらのケースを加味して算出されています。

平均当せん確率と金額

ナンバーズ４のボックスの平均当せん確率は、上記の算出表により、９９９０万枚の購入に対して当せん数は１７５８６０本となりますので、１７５８６０ ÷ ９９９０万 ≒ ５６８分の１となります。

平均当せん金額も同様に、８９億９１００万円の還元金額を １７５８６０本の当せん数で均等に配分しますので、８９億９１００万円 ÷ １７５８６０ ≒ ５１１２６円となります。

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