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〔ポーカーの確率〕 カードの組合せ総数と、各役の出現率

ポーカーは遊ぶゲームの種類によって「ファイブカード」などの特殊な役が追加されたり、役の強さが変わる場合もありますが、一般的なルールでは強い（出現確率が低い）順に最高役の「ロイヤルストレートフラッシュ」から「ワンペア」まで全部で９つの役があります。

各役の出現確率を算出するためには、まず分母としてランダムにシャッフルされたトランプから選ばれた手札５枚の組み合わせ（場合の数）が全部で何通りあるのかを調べなければなりません。

また、ポーカーで使うトランプは、ゲームによって１組５２枚のカードからジョーカーを含めた１組５３〜５４枚のカードを使うものまで様々あり、それぞれについて組合せを求めなければなりません。

ガチンコの真剣勝負で検証するには、無料でポーカーが遊べるオンラインカジノを選んで勝負を仕掛けるのが最適です。

５２〜５４枚のトランプから５枚のカードを選ぶ組合せ
カードの組合せ総数
配られた５枚の手札の組合せで役が完成する確率
ロイヤルフラッシュ ストレートフラッシュ フォーカード フルハウス フラッシュ ストレート スリーカード ツーペア ワンペア ノーペア

５２〜５４枚のトランプから配られる５枚の手札の組合せは何通り？

ポーカーの人気ゲームの一つ、「ジャックス・オア・ベター」 で使用されるジョーカーやワイルドカードを含めない１組５２枚のトランプでは、５２枚のカードの中から５枚を取りますので単純計算すると以下のようになります。

いきなり凄い数になりました。　３億１１８７万５２００通り・・・。

１３種類の数字と４つのマークからなる全５２種類のカードから１枚目を選び、残った５１種類から２枚目…と、樹形図で表すと末端は膨大な枝数となるため書けません。　しかし、上の計算式では手元に配られる５種類のカードの並び順（位置）が異なる場合も含まれるため、その分を差し引かなければなりません。

例えて言えば、配られた５種類のカードに�@〜�Dまでの番号を付けます。
手元のカードは、左から順に�@�A�B�C�Dとなります。

ではこの先、�D�C�B�A�@や�@�A�B�D�C、または�B�D�@�C�Aなどのカードが配られた場合はどうでしょうか？
配られる位置は違いますが、カードの種類は同じですね。

並べる順番の違いを区別せずに５２枚のカードの中から５枚を取る全組合せ数を求めるためには、５枚のカードを並べる順番が何通りあるのかを調べる必要があります。　以下の表にそれをまとめました。

５枚のカードを並べる順番は全部で５×４×３×２×１＝１２０通りあることが分かりました。

つまり５２枚のカードの中から任意に選んだ �@、�A、�B、�C、�Dの５種類のカードには、最初に求めた３億１１８７万５２００通りの中に１２０パターン重複しています。

よって、５２枚の中から５枚を取る全組合せ数は、
３億１１８７万５２００から１２０を除じた数 ＝ ２５９万８９６０通りとなります。

高校数学では、『異なるｎ個のものから異なるｍ個のものを並べる順番の違いを区別せずに並べたもの＝重複（ちょうふく）を持たない組合せ』の総数を「コンビネーション（Combination）」と呼ばれる組合せの公式を使って求めます。　その頭文字から、ｎＣｍ または Ｃ（ｎ，ｍ） のような記号を使って表します。

５２枚のカードの中から５枚を取る組合せ

１組５２枚のトランプから配られる５枚の手札の全組合せ数をコンビネーションで表すと以下のようになります。

ジョーカーを含む５３枚のカードの中から５枚を取る組合せ

私がよくプレイしている、ジョーカーを１枚含めた１組５３枚のトランプを使用した 「デュース＆ジョーカー」 というポーカーゲームの手札の全組合せ数は、Ｃ（５３，５）＝２８６万９６８５通りになります。

ジョーカー２枚を含む５４枚のカードの中から５枚を取る組合せ

同様に、ジョーカーを２枚使用するゲームの場合も数字を変えるだけで簡単に求めることができます。

これで各ゲームにおいて、最初に配られる５枚の手札の組合せ総数を求めることができました。

ロイヤルストレートフラッシュの確率

ポーカーの醍醐味は最高役のロイヤル・ストレート・フラッシュ（＝ ロイヤル・フラッシュ）を当てた時です。
いったい、どのくらいの確率で引けるものなのでしょうか？

ロイヤルストレートフラッシュは、同じマークの１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａの組合せです。
マークは、スペード、ハート、ダイヤ、クラブの４通りあります。

５２枚の中から５枚を取る組合せは２５９万８９６０通りですので、ロイヤルストレートフラッシュの出現確率は４÷２５９万８９６０＝６４万９７４０分の１になります。

「ジャックス・オア・ベター」や「デュースワイルド」など、１組５２枚のカードを使うポーカーゲームでいきなりロイヤルストレートフラッシュを当てる確率は約６５万分の１となります。

毎日１０００ゲーム遊んでも単純計算で２年もかかってしまう出にくい役だったのですね。　しかし、上記の確率は最初に配られた５枚のカードで成立する場合で、カード交換後に発展して完成した確率ではありません。

カード交換も含めロイヤルストレートフラッシュになる確率は、ホールド（手元に残すカード）手順によって大きく前後しますが、２〜４万分の１になります。　これについては私が手計算で出したものではなく、数十兆通りの最終手を統計・分析することができるポーカーのシミュレーターによって解析した結果となります。

ストレートフラッシュの確率

ストレートフラッシュは、同じマークの数字が順に続いている組合せです。
（ロイヤルストレートフラッシュになる場合を除き、ストレートで、かつフラッシュ）

連続した数字は各マークで、Ａ-２-３-４-５ から ９-１０-Ｊ-Ｑ-Ｋ まであります。
ただし、連番のルールにより Ｊ-Ｑ-Ｋ-Ａ-２ のようにＡから２へとは続きません。

連続した数字の組合せが９つとマークが４種類ありますので、合計３６通りあります。

よって、ストレートフラッシュの出現確率は、３６÷２５９万８９６０≒７万２１９３分の１になります。

フォーカードの確率

フォーカードは、同じ数字のカードが４枚揃った組合せです。

数字は、Ａ、２、３、・・・、Ｊ、Ｑ、Ｋまでの１３種類あります。　

上図紫色の残り１枚のカードは使われた４枚のカード以外なら何でも構いません。　そのため、５２枚のカードから４枚を除いた４８パターンが１つの数字のフォーカードに対して存在することになります。

これより、フォーカードの組合せは全部で１３種類の数字×４８パターン＝６２４通りあります。

よって、フォーカードの出現確率は、６２４÷２５９万８９６０＝４１６５分の１になります。

スリーカードが出た時、「あと１枚同じ数字だったら…」と悔しい思いを何度かしましたが、最初に配られた５枚のカードでフォーカードが成立する確率は約４千分の１と思ってた以上に当たりにくい役だったんですね。

ポーカーはできるだけ強い役（ハンド）を作って相手（コンピューター）と競うゲームですが、このフォーカードを境に各役の出現確率が大きく開きます。　ビデオポーカーや対戦型のポーカーで使用されるテキサスホールデムなど各ギャンブルの舞台では、この役を含んだ上位役を完成させることで勝負が大変有利になります。

もちろんポーカーは最高役を完成させて何ぼの世界ですが、長期戦になると、このフォーカードが確率通りに引けるか引けないかによって勝負の展開（収支）が大きく変わってしまうほど重要な役だと言えます。

フルハウスの確率

フルハウスは、スリーカードとワンペアの組合せです。
組合せを求めるにはまず最初にスリーカードが何通り出来るのかを調べる必要があります。

スリーカードは同じ数字のカードが３枚揃った組合せで、Ａ、２、３、・・・、Ｊ、Ｑ、Ｋまで１３種類あります。

カードのマークは何でも構いませんので、スペード・ハート・ダイヤ・クラブの４種類のマークから３つを選ぶ組合せは、コンビネーションの式を用いてＣ（４，３）＝４より、全部で４通りあります。

よって、フルハウスのスリーカードの部分は全部で１３×４＝５２パターン存在します。

次にワンペアの部分（上図紫色のカード）が何通り出来るかを考えてみましょう。

同じ数字がペアになっている組合せなのでＡからＫまで１３種類と言いたいところですが、その場合だとフォーカードに昇格するカードも含まれてしまいます。　スリーカード以外の数字がワンペアになる組合せを考えなければなりませんので、１３種類の数字のペアから１つを除き、１２種類となります。

カードのマークは問わないため、４種類のマークから２つを選ぶ組合せは、Ｃ（４，２）＝６通りあります。

よって、フルハウスのワンペアの部分は１つのスリーカードにつき１２×６＝７２パターン存在します

これより、フルハウスの組合せは全部で５２×７２＝３７４４通りあります。

よって、フルハウスの出現確率は、３７４４÷２５９万８９６０≒６９４分の１になります。

フルハウスはこのように２つの部分に分けて組合せを求めるのがポイントとなります。

この辺りから出現確率が大きく変わり、約７００分の１と現実的な数字になりました。　この先、役の階級が下がるにつれ、出現確率が高くなりますので、カードの組合せ数も多く複雑になっていきます。

フラッシュの確率

フラッシュは、５枚のカードがすべて同じマークで構成される組合せで、カードの数字は何でも構いません。
ただし、上位役のロイヤルとストレートフラッシュも含まれますので、それを除かなれけばなりません。

まず最初に５枚のカードが全部同じマークになる組合せが何通りあるのかを調べます。

分かりやすく計算するために４種類のマークの内、１種類について考えます。
いま、１組５２枚のトランプからスペードのカードを取り出しました。

この１３枚のカードの中から５枚を選ぶ組合せはＣ（１３，５）＝１２８７通りあります。

これでスペードのフラッシュの総数を求めることができましたが、この１２８７通りの中には連続した数字で出来るスペードのロイヤルとストレートフラッシュが含まれていますので、これらを引かないといけません。

スペードのロイヤルストレートフラッシュは、１０〜Ａの１種類あります。
スペードのストレートフラッシュは、Ａ〜５、２〜６、・・・、８〜Ｑ、９〜Ｋまで９種類あります。

これらの上位役を引き、１２８７−（１＋９）＝１２８７−１０＝１２７７通りになりました。

その他、ハート、ダイヤ、クラブの３種類のマークについても同様に求めることができますので、
フラッシュになる組合せは全部で１２７７×４＝５１０８通りあります。

よって、フラッシュの出現確率は、５１０８÷２５９万８９６０≒５０９分の１になります。

ストレートの確率

ストレートは、５枚のカードの数字が連続している組合せで、カードのマークは何でも構いません。

ただし、５枚のカードがすべて同じマークになるとロイヤルやストレートフラッシュに昇格してしまうため、
連続する数字の組合せから５枚が同一マークとなるものを除かなれけばなりません。

連続する数字の組合せは、Ａ-２-３-４-５から１０-Ｊ-Ｑ-Ｋ-Ａまで１０種類あります。
ただし、Ａの取り扱いとして連番のルールにより Ｊ-Ｑ-Ｋ-Ａ-２ のようにＡから２へとは続きません。

まず、一つの連続した数字の組合せにおいて４種類のマークの組合せは全部で何通りあるかを調べます。
例として、Ａから始まるＡ-２-３-４-５の１種類の連続した数字の組合せについて考えます。

４種類の「Ａ」に対して「２」がそれぞれ４種類あり、その「２」に対して「３」が各４種類・・・となることから、一つの連続した数字でマークの選び方は、４の５乗（４×４×４×４×４）＝１０２４通りあります。

次に、この中で５枚のカードがすべて同じマークになる上位役の組合せは、スペード、ハート、ダイヤ、クラブでそれぞれ１通りしかありませんので、それを引きます。　これにより、Ａから始まるＡ-２-３-４-５のストレートは全部で１０２４−４＝１０２０通りあることが分かりました。

連続する数字の組合せはＡ-２-３-４-５から１０-Ｊ-Ｑ-Ｋ-Ａまで１０種類ありますので、ストレートの組合せは全部で１０２０×１０＝１万２００通りになります。

よって、ストレートの出現確率は、１万２００÷２５９万８９６０≒２５５分の１になります。

ポーカーの各ゲームをプレイしていると、フラッシュとストレートの配当差があまりないことから、出現確率も似ていると思われがちですが、ストレートの方が２倍出やすい役だということに気づかされると思います。

スリーカードの確率

スリーカードは、同じ数字のカードが３枚揃った組合せで、カードのマークは何でも構いません。

ただし、残りの２枚のカードの中にスリーカードと同じ数字があればフォーカード、ワンペアになればフルハウスに昇格してしまうため、既算の上位役が重複しないようにそれらを除いて組合せを求めなければなりません。

同じ数字のカードが３枚揃った組合せは、ＡＡＡ、２２２、・・・、ＱＱＱ、ＫＫＫまで１３種類あります。
カードのマークは問いませんので、４種類のマークから３つを選ぶ組合せはＣ（４，３）＝４通りあります。

よって、スリーカードの部分は全部で１３×４＝５２パターン存在します。

次に残りの２枚のカード（下図、緑と青のトランプ）について考えます。

緑と青のトランプはスリーカードの部分で３枚使われてますので、５２−３＝４９より、残りの４９枚のカードから２枚選ばれます。　しかし、この４９枚のカードの中にはスリーカードの部分と同じ数字のカードが１枚含まれていますので、フォーカードにならないように１枚取り除かないといけません。

ですので、緑と青のトランプは４８枚のカードから２枚を選ぶ組合せＣ（４８，２）＝１１２８通りあります。

最後にフルハウスの成立を避けるため、緑と青のトランプがワンペアになる組合せを求めます。
こちらは フルハウスの確率 にて計算済みで、１つのスリーカードにつきワンペアは７２通りあります。

これより、スリーカードの組合せは５２×（１１２８−７２）＝５２×１０５６＝５万４９１２通りになります。

よって、スリーカードの出現確率は、５万４９１２÷２５９万８９６０≒４７分の１になります。

オンラインカジノのビデオポーカーにはフォーカードの配当を強化した灼熱仕様の台もあり、一度に複数の手札（ハンド）で遊べるマルチハンドポーカーでは出現確率５０分の１弱のお手頃なスリーカードからフォーカードに昇格しやすいため、驚きのペイアウト（払い出し）を短期間に何度も味わうことができます。

ツーペアの確率

ツーペアは、同じ数字のカードのペア（２枚）が２組ある組合せです。

ただし、「Ａ-ＡとＡ-Ａ」のように２組のペアの数字が同じになるとフォーカードに昇格してしまいますので、２組のペアの数字は重複してはいけません。　また、残り１枚のカードもフルハウスにならないように２組のペアで使った数字以外のカードでなければならず、これらの上位役を除いて組合せを考える必要があります。

最初に２組のペアの数字（１組目と２組目の数字が同じになる場合を除く）の組合せを求めます。

１組目のペアが「ＡＡ」の場合、２組目は「２２」〜「ＫＫ」まで１２通り、「２２」の場合、「３３」〜「ＫＫ」まで１１通りありますので、２組の数字の組合せは全部で１２＋１１＋１０＋・・・＋３＋２＋１＝７８通りあります。

または、１３種類の数字の中から２種類を選ぶ組合せＣ（１３，２）＝７８通りとなります。

次に各組のペアのマークの組合せを考えます。　カードのマークは何でも構いませんので、スペード・ハート・ダイヤ・クラブの４種類のマークから２つを選ぶ組合せはそれぞれＣ（４，２）＝６通りあります。

これより、２組のペアの組合せは全部で７８×６×６＝２８０８通りあることが分かりました。

最後にフルハウスの成立を避けるため、残り１枚のカードは５２枚から既に使った４枚を引いた４８枚から、その中にある２組のペアの数字の残り各２枚を取り除いて５２−４−４＝４４枚あります。

ツーペアの組合せは２８０８×４４＝１２万３５５２通りになります。

よって、ツーペアの出現確率は、１２万３５５２÷２５９万８９６０≒２１分の１になります。

ワンペアの確率

ワンペアは、同じ数字のカードのペア（２枚）が１組ある組合せです。

ただし、残り３枚のカードはフォーカード、スリーカードにならないようペアで使った数字以外でなければなりません。　また、フルハウス、ツーペアも避けるため、その３枚の中に別の数字の並びがあってはなりません。

ペアの数字は、ＡＡ、２２、３３、・・・、ＪＪ、ＱＱ、ＫＫまで１３種類あります。　さらに各数字のペアに対して６種類のマークの組合せが存在しますので、ペアの数字の組合せは全部で１３×６＝７８通りあります。

〔例〕 ６種類のマークの組合せは、ワンペアの数字が「２」の場合、以下のようになります。

次に残り３枚のカードについて考えます。

上位役のフォーカードとスリーカードへ昇格しないように残り３枚のカードの各数字はペアで使った数字以外が入りますので、１３種類の数字から１種類の数字を除きます。

次に、その１２種類の数字が残り３枚のカードの中でペア以上にならないよう数字の重複なしに選ばれないといけませんので、組合せはコンビネーションの式を用いてＣ（１２，３）＝２２０通りになります。

さらに、３枚の各数字に対してマークの選び方は、４の３乗（４×４×４）＝６４通りあります。

上位役を除いた残り３枚のカードの組合せは全部で２２０×６４＝１万４０８０通りあることが分かりました。

これより、ワンペアの組合せは７８×１万４０８０＝１０９万８２４０通りになります。

よって、ワンペアの出現確率は、１０９万８２４０÷２５９万８９６０≒２．４分の１になります。

ジャックス・オア・ベターの確率

ワンペアの一部に、Ｊ〜Ａのペアからなる「ジャックス・オア・ベター」という役も合わせて求めました

この役はゲームセンターや海外のカジノなど、ビデオポーカーのゲーム名でお馴染みですね。
本機はＪ（ジャック）以上のワンペアで配当が得られ、役も覚えやすく、マシンペイアウト率（払い出し率）も腕前次第では最大限に引き出せるため、今日も世界中の多くのプレイヤーによって遊ばれています。

Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａの４種類のカードのペア（２枚）が１組ある組合せになりますので、前項のワンペアの式を利用し、（４×６）×（２２０×６４）＝２４×１万４０８０＝３３万７９２０通りになります。

よって、ジャックス・オア・ベターの出現確率は、３３万７９２０÷２５９万８９６０≒７．７分の１になります。

つまり、ワンペアの１３分の４（約３０％）がジャックス・オア・ベターになります。

オンライン版のカジノでも人気の本機はは、ストラテジー（ポーカーの研究者によって求められた数学的・確率的に有利なカードの残し方、最善手）を実行することで、９９．９５％以上の高いペイアウト率を長期的に維持することが可能で、ヒキ次第では長く遊べてクレジットも徐々に増えていきます。

また、オンラインカジノには１０以上のカードのペアで配当が得られる「テンズ・オア・ベター」というビデオポーカーもあります。　役が完成しやすい分、ストレートとフラッシュの配当額が若干下げられていますが、統計的なペイアウト率は変わりませんので、「ジャックス・オア・ベター」と共に人気があります。

ノーペアの確率

ノーペアは「ブタ」とも呼ばれ、何の役も成立していないバラバラの状態であるカードの組合せです。

ノーペアの組合せは、単純に２５９万８９６０通りからなるカードの組合せからこれまでに算出したワンペア以上の９つの役の組合せを合わせた総数を引けば求めることができます。

ワンペア以上の役の組合せの合計は以下のようになります。

これより、ノーペアの組合せは２５９万８９６０−１２９万６４２０＝１３０万２５４０通りあります。

よって、ノーペアの出現確率は、１３０万２５４０÷２５９万８９６０≒２分の１になります。

最初に配られる５枚のカードの約半分がブタで、残り半分は何らかの役が成立していることが分かります。

ノーペアは誰もが嫌う最低ハンドですが、ビデオポーカーの中には役の揃いにくさをカバーするため、ワイルドカードやジョーカーといった他のカードに代用できる万能カードを何枚か盛り込んだ機種もあります。

５枚の手札に複数のワイルドが並ぶ様は壮観ですので、ぜひ遊んでみてください。

以上でポーカーの各役の組合せと確率の計算は終わりです。
コンビネーションを使った組合せの式がいくつか出ましたが、慣れましたでしょうか。
ルールや式を把握した上でプレイするポーカーは勝率がグッと上がります。
ポーカーのルールや力試しができるオンラインカジノでも無料で本気の勝負が遊べますので、合わせて参考にしてください。

また、ロイヤルに関係する確率のコンテンツも掲載してますので、合わせてお読み頂ければ幸いです。

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