〔ポーカーの確率〕 ロイヤル関連カードの構成・組合せと発展確率

同じ種類のマークの10、J、Q、K、Aからなるロイヤルストレートフラッシュに関連するカードが最初に配られる5枚のカードの中にどのくらいの確率で何枚含まれるかを組合せを基にそれぞれ算出しました。

また、手元に残したカードが交換後にロイヤルストレートフラッシュになる確率も求めました。

各役の確率と比べて計算の過程が少し複雑になりますが、参考としてお読み頂ければ幸いです。

マーク別に仕切って、ロイヤル関連カードの分布を調べる

最初に配られる5枚の手札の組合せ(1組52枚のトランプを使用)全259万8960手に対してロイヤルに関連する各マークの10、J、Q、K、Aのカードがマーク別にどのように分布しているのかを調べました。

表内の「S」「H」「D」「C」は順にスペード、ハート、ダイヤ、クラブを表してます。 また、その下の色分けされた4桁の数字はロイヤル関連カードが各マークに対しそれぞれ何枚あるのかを表してます。

例えば、「4010」の場合、5枚のカードがスペードの10〜Aのいずれかの数字4枚と、ダイヤの10〜Aのいずれかの数字1枚のカードで構成されている状態となります。 この場合、同一マークが最大4枚含まれていますので、枠内の色をピンクにしてロイヤル関連カードの含有数を視覚的に表しました。

この表は、「0000」から「5555」まで全部で6=1296通りある4桁の6進数を用いて作成しました。

ポーカーは5枚のカードを使いますので、4桁の6進数の4つの各数字を十進法で足した数=枚数が5以下のもの(上表右の0〜5までの数字)を残し、合計が6以上の無効な1170通りを取り除きました。

次に、残った有効な126通りを同一マークが多い順に並び替えます。

同じマークを多く含む順にパターン化して並び替える

上の分布表を整理すると、下表の通り18種類のパターンに分けることができます。

例えば、パターンが「3−2」なら、あるマークでロイヤルに関連する10〜Aのカードが3枚、それ以外の3種類のマークのいずれか1種で10〜Aのカードが2枚あることを意味します。

また、「最大含有数」は同一マークが最大何枚含まれているかを表してます。

最後に、これら18種類の各パターンについて組合せを算出します。

パターン別にそれぞれ組合せを求める

18種類のパターンが全259万8960手に対してそれぞれどのように組み合わさるかを求めました。

コンビネーションを使った計算式の作成方法として、パターン「4−1」を例に説明します。

このパターンはあるマークでロイヤルに関連する10〜Aのカードを4枚含み、残り1枚はそれ以外の3種類のマークのいずれか1種で10〜Aのロイヤル関連カードが1枚ある状態です。

4枚の部分は同一マークがスペード以外にハート、ダイヤ、クラブと合わせて4種類ありますのでC(4,1)、カードの数字は10、J、Q、K、Aの5種類から4枚選ばれますので、C(5,4)となります。

右の1枚の部分は4枚の部分で選ばれたマークを除いた3種類のマークから1種類選ばれますのでC(3,1)、カードの数字は10、J、Q、K、Aの5種類から1枚選ばれますので、C(5,1)となります。

よって組合せの式は、C(4,1) × C(5,4) × C(3,1) × C(5,1)になります。

前項の表でこのパターンが「4100」から「0014」まで12種類あるのはマークの選び方に関連する、C(4,1)=4 と C(3,1)=3 の組合せがあるからです。 (4×3=12)

この中でパターン「4−1」および「4」は、あと1枚でロイヤルストレートフラッシュが完成する同一マーク4枚を含んだ状態で、配られた時やカードを交換する前後は大きな緊張が走ります。

同一マークでロイヤル関連カードが4枚ある状態を「ロイヤルリーチ」と呼んでいて、最初に配られる259万8960手の組合せに対して、300+640=940通りあることが上表の計算結果から分かりました。

これより、ロイヤルリーチの出現確率は940÷259万8960≒2765分の1になります。

同一マークにおけるロイヤル関連カードの出現確率を枚数別にまとめると以下のようになります。

ロイヤルストレートフラッシュに発展する確率

最初に配られた5枚のカードの組合せからロイヤルに関連するカードを手元に残し、不要なカードを一度交換して新しくできた5枚の組合せがロイヤルストレートフラッシュになる確率はどのくらいなのでしょうか。

まずは激アツのロイヤルリーチから求めます。

配られた5枚のカードの内、4枚を手元に残し、残り1枚を交換しますので、交換後に現れる紫色のカードは52−(4+1)=47種類の組合せがあります。 その中にロイヤルストレートフラッシュを完成させるために必要なカードが1枚含まれています。 (上図の場合、スペードのAが当たり牌になります。)

よって、残りの47枚のカードの中に当たりは1枚しか存在しませんので、47枚から1枚を選ぶ組合せC(47,1)=47通りに対して1通り選ばれる確率は47分の1になります。

シングルハンド版のビデオポーカーの場合、交換のチャンスは一度だけですが、1回の手札に対して複数回の交換後の出目が楽しめるマルチハンド版では、払い出し金額はハンド数に反比例しますが、当選確率は比例しますので、以下のような50ハンド遊べるゲームでは実質的に最高役の確率がが50倍にアップします。
高確率状態でロイヤルストレートフラッシュを手早く複数出したいときにうってつけのマシンです。

このビデオポーカーのプレイ日記とゲームの詳細

次に、ロイヤル関連カードを3枚含む場合に発展する確率も求めます。

こちらは47枚の残りカードから並び順不問でスペードのKとスペードAの2枚が選ばれればロイヤルストレートフラッシュが成立します。 47枚から2枚を選ぶ組合せはC(47,2)=1081通りあり、その中に成立のための有効な組合せは1通りしか存在しませんので、確率は1081分の1になります。

このことから、残したカードn枚が交換後、ロイヤルストレートフラッシュに発展する確率は
1/C(47,5−n)になることが分かります。 ただし、nが0と5の場合を除きます。

上の式を利用すると、
ロイヤル関連カードが2枚の場合なら、1/C(47,3)=1万6215分の1
1枚しかないの場合、1/C(47,4)=17万8365分の1
の確率でカード交換後にロイヤルストレートフラッシュが成立することになります。

最初に配られた5枚の手札にロイヤル関連カードがない0枚の場合はカードを1枚も残さず交換しますので、
4種類のマークのどれかでロイヤルストレートフラッシュが完成することになります。
したがって、交換後に発展する確率は、4/C(47,5)≒38万3485分の1となります。

しかし、これらの確率はあくまでも最高役のロイヤルを狙うことのみを対象にしています。 お金を賭けての勝負ではペイアウト率を最優先するため、ストラテジー(確率的に有利なカードの残し方)を厳守して最善手でゲームを進める必要があります。 そのため、ロイヤル関連カードを残さない場合もいくつかあります。

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ジャックス・オア・ベター

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ロイヤルストレートフラッシュに関する確率の計算はこれで終わりです。
実際に計算して理論上の数字を出すと、個人差はありますが、体感的・実践的にプレイしていたときと違い、思ってた以上に出やすい・出にくいと、これまでの経験から照らして感じ取って頂けたのではないでしょうか。

ポーカー 確率計算一覧
ブタから最高役まで各役が完成する確率はどのくらい? 残したカードが、ロイヤルフラッシュになる確率は?
  • ロイヤル関連カードの構成・組合せと発展確率

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