〔ポーカーの確率〕ロイヤル関連カードの構成・組合せと発展確率

同じ種類のマークの１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａからなるロイヤルストレートフラッシュに関連するカードが最初に配られる５枚のカードの中にどのくらいの確率で何枚含まれるかを組合せを基にそれぞれ算出しました。

また、手元に残したカードが交換後にロイヤルストレートフラッシュになる確率も求めました。

各役の確率と比べて計算の過程が少し複雑になりますが、参考としてお読み頂ければ幸いです。

マーク別に仕切って、ロイヤル関連カードの分布を調べる

最初に配られる５枚の手札の組合せ（１組５２枚のトランプを使用）全２５９万８９６０手に対してロイヤルに関連する各マークの１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａのカードがマーク別にどのように分布しているのかを調べました。

表内の「Ｓ」「Ｈ」「Ｄ」「Ｃ」は順にスペード、ハート、ダイヤ、クラブを表してます。　また、その下の色分けされた４桁の数字はロイヤル関連カードが各マークに対しそれぞれ何枚あるのかを表してます。

例えば、「４０１０」の場合、５枚のカードがスペードの１０～Ａのいずれかの数字４枚と、ダイヤの１０～Ａのいずれかの数字１枚のカードで構成されている状態となります。　この場合、同一マークが最大４枚含まれていますので、枠内の色をピンクにしてロイヤル関連カードの含有数を視覚的に表しました。

この表は、「００００」から「５５５５」まで全部で６^４＝１２９６通りある４桁の６進数を用いて作成しました。

ポーカーは５枚のカードを使いますので、４桁の６進数の４つの各数字を十進法で足した数＝枚数が５以下のもの（上表右の０～５までの数字）を残し、合計が６以上の無効な１１７０通りを取り除きました。

次に、残った有効な１２６通りを同一マークが多い順に並び替えます。

同じマークを多く含む順にパターン化して並び替える

上の分布表を整理すると、下表の通り１８種類のパターンに分けることができます。

例えば、パターンが「３－２」なら、あるマークでロイヤルに関連する１０～Ａのカードが３枚、それ以外の３種類のマークのいずれか１種で１０～Ａのカードが２枚あることを意味します。

また、「最大含有数」は同一マークが最大何枚含まれているかを表してます。

最後に、これら１８種類の各パターンについて組合せを算出します。

パターン別にそれぞれ組合せを求める

１８種類のパターンが全２５９万８９６０手に対してそれぞれどのように組み合わさるかを求めました。

コンビネーションを使った計算式の作成方法として、パターン「４－１」を例に説明します。

このパターンはあるマークでロイヤルに関連する１０～Ａのカードを４枚含み、残り１枚はそれ以外の３種類のマークのいずれか１種で１０～Ａのロイヤル関連カードが１枚ある状態です。

４枚の部分は同一マークがスペード以外にハート、ダイヤ、クラブと合わせて４種類ありますのでＣ（４，１）、カードの数字は１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａの５種類から４枚選ばれますので、Ｃ（５，４）となります。

右の１枚の部分は４枚の部分で選ばれたマークを除いた３種類のマークから１種類選ばれますのでＣ（３，１）、カードの数字は１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ、Ａの５種類から１枚選ばれますので、Ｃ（５，１）となります。

よって組合せの式は、Ｃ（４，１） × Ｃ（５，４） × Ｃ（３，１） × Ｃ（５，１）になります。

前項の表でこのパターンが「４１００」から「００１４」まで１２種類あるのはマークの選び方に関連する、Ｃ（４，１）＝４とＣ（３，１）＝３の組合せがあるからです。（４×３＝１２）

この中でパターン「４－１」および「４」は、あと１枚でロイヤルストレートフラッシュが完成する同一マーク４枚を含んだ状態で、配られた時やカードを交換する前後は大きな緊張が走ります。

同一マークでロイヤル関連カードが４枚ある状態を「ロイヤルリーチ」と呼んでいて、最初に配られる２５９万８９６０手の組合せに対して、３００＋６４０＝９４０通りあることが上表の計算結果から分かりました。

これより、ロイヤルリーチの出現確率は９４０÷２５９万８９６０≒２７６５分の１になります。

同一マークにおけるロイヤル関連カードの出現確率を枚数別にまとめると以下のようになります。

ロイヤルストレートフラッシュに発展する確率

最初に配られた５枚のカードの組合せからロイヤルに関連するカードを手元に残し、不要なカードを一度交換して新しくできた５枚の組合せがロイヤルストレートフラッシュになる確率はどのくらいなのでしょうか。

まずは激アツのロイヤルリーチから求めます。

配られた５枚のカードの内、４枚を手元に残し、残り１枚を交換しますので、交換後に現れる紫色のカードは５２－（４＋１）＝４７種類の組合せがあります。　その中にロイヤルストレートフラッシュを完成させるために必要なカードが１枚含まれています。　（上図の場合、スペードのＡが当たり牌になります。）

よって、残りの４７枚のカードの中に当たりは１枚しか存在しませんので、４７枚から１枚を選ぶ組合せＣ（４７，１）＝４７通りに対して１通り選ばれる確率は４７分の１になります。

シングルハンド版のビデオポーカーの場合、交換のチャンスは一度だけですが、１回の手札に対して複数回の交換後の出目が楽しめるマルチハンド版では、払い出し金額はハンド数に反比例しますが、当選確率は比例しますので、以下のような５０ハンド遊べるゲームでは実質的に最高役の確率がが５０倍にアップします。
高確率状態でロイヤルストレートフラッシュを手早く複数出したいときにうってつけのマシンです。

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